2014-02-02
885
Рассмотрим два вида напряженных состояний:
а) объемное напряженное состояние
В каждой точке тела существуют также три взаимно- перпендикулярные площадки (главные), на которых действуют только нормальные напряжения, называемые главными.
Рис. 9.4
На рис. 9.4,а элемент, вырезанный произвольными площадками, на рис. 9.4,б — главными площадками.
Предположим, что наклонная площадка является главной, тогда на ней будет действовать только нормальное напряжение 
(рис. 9.5).
Рис. 9.5
Проекции на координатные оси равны
(9.2)
Приравнивая 9.2 и 9.1, получим:
(9.3)
Получаем систему трех алгебраических уравнений относительно направляющих косинусов 
. Причем известно, что 
. Значит одновременно не могут быть равны нулю. Поэтому система (9.3) имеет решение отличное от нуля. Система алгебраических уравнений имеет решение отличное от нуля, если определитель из ее коэффициентов равен нулю.
= 0 (9.4)
Раскрывая определитель (9.4) получим кубическое уравнение относительно
, (9.5)
где 
— коэффициенты кубического уравнения и определяются следующими соотношениями
= 
(9.6)
— называются первым, вторым, третьим инвариантом напряженного состояния. Решив кубическое уравнение, получим три действительных корня 
. После того как найдены , их переномеровывают согласно неравенству
. (9.7)
б) частный случай, когда одна из площадок является главной (рис. 9.6).
Рис. 9.6
В этом случае 
. При подстановке их в определитель (9.5) он распадается на два определителя второго порядка и первого:
(9.8)
Последний определитель сразу дает главный корень 
. Раскрывая второй определитель второго порядка: имеем 
или 
.
Получим квадратное уравнение для нахождения остальных двух корней. Его решение имеет вид
(9.9)
Таким образом, если одна из площадей главная, то один корень известен 
, а два других находятся по формуле (9.9).
