2014-02-02
8174
Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку массой 
, (1.8.5)
пропорциональна смещению 
и направлена в сторону, противоположную смещению, т. е. к положению равновесия. Она называется квазиупругой силой, которая является консервативной. Поэтому при гармонических колебаниях нет перехода энергии механического движения в другие виды энергии – кинетическая энергия 
переходит в потенциальную 
и обратно. Полная энергия системы остается постоянной.
Кинетическая, потенциальная и полная энергии материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равны
; (1.8.6)
; (1.8.7)
. (1.8.8)
Рис.5.2
|
8.4. Гармонический осциллятор
Гармоническим осциллятором называется система, закон движения которой описывается уравнением вида (1.8.4). Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники.
Пружинный маятник (рис.5.2) - груз массой , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий колебания под действием квазиупругой силы:  ( - жесткость пружины).
|
Закон движения маятника имеет вид:
|
|
|
или 
. (1.8.9)
Сравнивая это уравнение с законом движения гармонического осциллятора (1.8.4), можно сделать вывод, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону 
с циклической частотой и периодом равными
и 
. (1.8.10)
Рис.5.3
| Физический маятник (рис.5.3) - твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси 0, не проходящей через его центр масс  .
При отклонении маятника на угол  от положения равновесия составляющая силы тяжести создает момент возвращающей силы, который при малых углах отклонения равен
  (1.8.11)
|
где 
- длина физического маятника.
Подставив выражение (1.5.11) в основной закон динамики вращательного движения 
, получим: 
или 
(1.8.12)
где 
– момент инерции маятника относительно оси вращения.
Это уравнение по виду совпадает с законом движения гармонического осциллятора. Следовательно, физический маятник совершает гармонические колебания с параметрами:
; 
, (1.8.13)
где длина 
называется приведенной длиной физического маятника 
(1.8.14)
 Рис.5.4
| Математический маятник (рис.5.4) - материальная точка массой , подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиной и колеблющаяся под действием силы тяжести без трения. Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника. Поэтому если в формулу (1.8.13) подставить момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через точку  ( ), то получим формулу для периода колебаний математического маятника  (1.8.15)
|
Из сопоставления формул (1.8.13) и (1.8.15) получается, что данный физический маятник будет иметь такой же период, что и математический маятник длиной 
. Поэтому приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятник, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.
|
|
|
Рис.5.5
|
8.5. Представление гармонических колебаний с помощью вращающегося вектора амплитуды
Гармонические колебания, описываемые уравнением , можно представить с помощью вращающегося вектора амплитуды. Из точки 0, взятой на оси , под углом 
, равным начальной фазе колебания, отложим вектор длиной 
, равной амплитуде колебания (рис.5.5). Если привести этот вектор во вращение против движения часовой стрелки с угловой скоростью 
, то проекция его конца будет перемещаться по оси в пределах от до 
, причем координата проекции будет со временем изменяться по закону гармонического колебания. Схема, полученная таким способом, называется векторной диаграммой. Она широко используется при сложении колебаний, когда система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах.
