Решение МКЗ с иерархической системой критериев

Таблица 2.2

Матрица рангов

Этап 2. Упорядочение критериев по их важности. Обозначим ранги критериев через . Пусть в примере ранги критериев равны .

Этап 3. Вычисление проекций рангов .

Проекции объединяют ранги объектов и ранги критериев в число . Обычно используют:

, где коэффициент задается ЛПР. Коэффициент определяет в какой степени учитывать ранг критерия или ранги вариантов по каждому критерию.

Чаще всего в качестве а используют ½, что соответствует учету рангов критериев и объектов в равной степени.

,

В рассмат­риваемом примере используем , тогда значения проекций равны:

Проекции рангов

Объекты
Вариант 1	3,5	2,25
Вариант 2		1,75	3,25
Вариант 3		3,5
Вариант 4		2,75	1,75
Вариант 5	1,25	4,75	2,75
Вариант 7	1,25	4,25	4,75
Вариант 8	2,5	3,5	2,25

Этап 4. Ранжирование вычислен­ных проекций, т.е. все элементы матрицы рассматриваются как одно множество, и по величине они упорядочиваются. Результаты ранжирования обозначим через .

Ниже в таблице приведены результаты ранжирования для числового примера. Следует подчеркнуть, что процедура ранжирования проекций решает проблему агрегирования критериев.

Ранжирование проекций

Объекты
Вариант 1		6,5		37,5
Вариант 2		3,5		32,5
Вариант 3
Вариант 4		9,5	3,5
Вариант 5	1,5	20,5	9,5	31,5
Вариант 7	1,5		20,5
Вариант 8			6,5	28,5

Этап 5. Упорядочение вариантов (модификация 1 ORESTE)

Для рассмотренного примера приведены в последней колонке таблицы рангов проекций. Соответственно порядок предпочтения объектов следующий: .

Необходимо отметить, что данные результаты упорядочения следует рассматривать как предварительное решение задачи. Если ЛПР удовлет­ворено полученным результатом, то процедура завершается, в противном случае переходим к следующему этапу.

Этап 6. Расчет коэффициентов пред­почтения.

Предпочтение объекта i над объектом l () оценивается следующим образом:

.

При вычислении суммируются только положительные разности , тем самым суммируются разности рангов только по тем критериям, для которых .

Максимально возможная разность равна .Чтобы коэффициент предпочтения (C_i,l) изменялся в интервале [0;1], коэффициент нормируют:

.

Для рассматриваемого числового примера значения коэффициенты предпочтения равны:

Объекты
		0,056	0,139	0,056	0,259	0,296	0,139
	0,148		0,287	0,111	0,315	0,444	0,194
	0,167	0,222		0,111	0,12	0,157	0,056
	0,306	0,269	0,333		0,315	0,491	0,139
	0,37	0,333	0,204	0,176		0,204	0,12
	0,231	0,287	0,065	0,176	0,028		0,12
	0,306	0,269	0,194	0,056	0,176	0,352

Этап 7. Установление отношений предпочтений (модификация 2 ORESTE)

Чтобы лучше понять правила установления отношений между объектами, представим данные о C_i,l и C_l,i в виде точки на плоскости, как показано на рис. 2.8.

Чем ближе точка к оси абсцисс, тем больше разность , т.е. с большим основанием можно говорить, что Вⁱ пред­почтительнее В^l. И наоборот, чем ближе точка к оси ординат, тем В^l пред­почтительнее Вⁱ.

Если разность небольшая, и сами коэффициенты C_i,l и C_l,i малы, то между объектами В^l и Вⁱ следует установить отношение безразличия. Чтобы сформулировать правила уста­новления отношений между объектами, введем следующие пороги:

a и b (для определения отношения безразличия);

g > 0 (для определения отношения предпочтения).

Между объектами Вⁱ и В^l устанавливаются:

a) отношение безразличия (Вⁱ ~ В^l), если |C_i,l - C_l,i|£b, C_i,l£a и C_l,i£a;

b) отношение предпочтения (Вⁱ f В^l), если |C_i,l - C_l,i|>b и ;

c) Вⁱ и В^l несравнимы (Вⁱ N В^l), если между ними не установлены отношения предпочтения или безразличия.

Условие установления отношения предпочтения Вⁱ f В^l можно переписать в следующем виде: , а для В^l f Вⁱ – в виде .

Чтобы задать бинарные отношения между объектами, доста­точно определить пороги b и g, порог a вычисляется на основе b и g и равен b(1+g).

Порог g можно задавать любым, причем, чем меньше g, тем более жесткое условие для установления отношения предпочтения.

Что касается порога b, то он может принимать небольшое значение. Во-первых, чем меньше b, тем с большей уверен­ностью можно устанавливать отношение безразличия. Во-вторых, при больших b может оказаться, что Bⁱ ~ B^l, в то время как один из них доминирует другой. Предельный случай, когда Bⁱ может доминировать B^l:

, а .

Значит, для b ограничение будет

.

Если в исходном множестве нет доминируемых объектов, то ограничение для b) необязательно.

Отметим важное свойство отношения предпочтения. Показано, что отношение предпочтения транзитивно.

Рассмотрев вопросы установления бинарных отношений между объектами, вернемся к блок-схеме метода (рис.2.7). На седьмом этапе ЛПР должно задать пороги b и g, на основе которых строится матрица бинарных отношений.

Пусть в примере и , тогда между объектами устанавливаются бинарные отношения, приведенные в таблице 2.6.

Варьируя порогами b и g, ЛПР может изменять связность графа предпочтения: при увеличении g увеличивается связность графа, причем все дуги, полученные при меньшем g,остаются, и к ним добавляются новые.

Если ЛПР не получило удовлетворяющее его решение, то целесообразно вернуться к первым этапам: ранжирование критериев (этап 2), выбор вида проекций (этап 3).

Матрица бинарных отношений

Объекты
	~	<	N	<	N	N	<
	>	~	N	<	N	N	N
	N	N	~	<	N	>	<
	>	>	>	~	>	>	>
	N	N	N	<	~	>	N
	N	N	<	<	<	~	<
	>	N	>	<	N	>	~

В практических задачах число критериев может достигать нескольких десятков. Применять одну свертку ко всем критериям нельзя. Поэтому множество критериев необходимо структуризовать в виде дерева критериев, а затем проводить агрегирование критериев по дереву. Рассмотрим данный подход по его основным этапам:

– построения дерева критериев;

– перехода от различных физических единиц измерения единичных критериев к относительным величинам;

– задания операторов агрегирования критериев по дереву

– анализ результатов оценки и уточнение параметров (функций перевода в относительные единицы, веса критериев, операторов агрегирования).