Пример 1. Определить для серной кислоты: 1) относительную молекулярную массу Мr; 2) молярную массу М.
Решение. 1. Относительная молекулярная масса вещества равна сумме относительных атомных масс всех элементов, атомы которых входят в состав молекулы данного вещества, и определяется по формуле
(1)
где ni — число атомов i -гo элемента, входящих в молекулу; Аr , i — относительная атомная масса i -го элемента. Химическая формула серной кислоты имеет вид H2SO4. Так как в состав молекулы серной кислоты входят атомы трех элементов, то стоящая в правой части равенства (1) сумма будет состоять из трех слагаемых и эта формула примет вид
(2)
Из формулы серной кислоты далее следует, что n 1 = 2 (два атома водорода), n 2 = 1 (один атом серы) и n 3 = 4 (четыре атома кислорода).
Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода найдем в таблице Д. И. Менделеева или в табл. 14 Приложения:
Аr ,1 = l, Аr ,2 = 32, Аr ,3 = 16.
Подставив значения ni и Аr , i в формулу (2), найдем относительную молекулярную массу серной кислоты:
|
|
Mr = 2∙1 + 1∙32 + 4∙16 = 98.
2. Зная относительную молекулярную массу Мr, найдем молярную массу серной кислоты по формуле
М = Mrk, (3)
где k = 10–l кг/моль.
Подставив в (3) значения величии, получим
М = 98∙10–3 кг/моль.
Пример 2. Определить молярную массу М смеси кислорода массой m 1 = 25 г и азота массой m 2 = 75 г.
Решение. Молярная масса смеси М есть отношение массы смеси т к количеству вещества смеси ν:
М = m/ν. (1)
Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси:
т = т 1 + m 2.
Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов:
Подставив в формулу (1) выражения т и ν,получим
(2)
Применив метод, использованный в примере 1, найдем молярные массы кислорода M 1 и азота M 2:
М 1 = 32∙10–3 кг/моль; М2 = 28∙10–3 кг/моль.
Подставим значения величии в (2) и произведем вычисления:
Пример 3. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = l мм3 воды, и массу т 1 молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.
Решение. Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m, равно произведению постоянной Авогадро N A на количество вещества ν:
N = ν N A.
Так как ν = m/M, где М — молярная масса, то . Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим
N = ρ VN A /M.
Произведем вычисления, учитывая, что М = 18∙10–3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):
Массу m 1 одной молекулы можно найти по формуле
(1)
Подставив в (1) значения М и N a, найдем массу молекулы воды:
Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V 1 = d 3, где d — диаметр молекулы. Отсюда
|
|
(2)
Объем V 1 найдем, разделив молярный объем V m на число молекул в моле, т. е. на N a:
(3)
Подставим выражение (3) в (2):
,
где V m = M / ρ. Тогда
Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:
Произведем вычисления:
Пример 4. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением р 1 = 1 МПа и при температуре T = 300 К. После того как из баллона было взято m = 10г гелия, температура в баллоне понизилась до T = 290 К. Определить давление р 2 гелия, оставшегося в баллоне.
Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева—Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:
(1)
где m 2 — масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М — молярная масса гелия; R — молярная газовая постоянная.
Из уравнения (1) выразим искомое давление:
Массу m 2 гелия выразим через массу т 1, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:
m 2 = m 1 – m.
Массу m 1 гелия найдем также из уравнения Менделеева-Клапейрона, применив его к начальному состоянию:
. (4)
Подставив выражение массы m 1 в (3), а затем выражение т 2 в (2), найдем
или
(5)
Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых (T 2/ T 1) — безразмерный, а второй — давление. Проверим второе слагаемое:
Паскаль является единицей давления. Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что М = 4∙10–3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):
Пример 5. Баллон содержит m 1 = 80 г кислорода и m 2 = 320 г аргона. Давление смен р = 1 МПа, температура T = 300К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.
Решение По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева — Клапейрона, парциальные давления р 1 кислорода и р2 аргона выражаются формулами
.
Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов
откуда объем баллона
Произведем вычисления, учитывая, что M 1 = 32∙10–3 кг/моль, М 2 = 40∙10–3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):
Пример 6. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре T = 350 К, а также кинетическую энергию Е к вращательного движения всех молекул кислорода массой m = 4г.
Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия , где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода — двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода
(1)
Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа
(2)
Число всех молекул газа
N = N aν, (3)
где N A — постоянная Авогадро; ν — количество вещества. Если учесть, что количество вещества ν =m / M, где m — масса газа; М — молярная масса газа, то формула (3) примет вид
Подставив выражение N в формулу (2), получаем
(4)
Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода M = 32∙10–3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):
Пример 7. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме cV и при постоянном давлении ср неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.
Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами
(1)
(2)
где i — число степеней свободы молекулы газа; М — молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i = 3 и М = 20∙10–3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения). Произведем вычисления:
Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и М = 2∙10–3 кг/моль. Тогда
Пример 8. Вычислить удельные теплоемкости сV и с p смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют w 1 = 80% и w 2 = 20%. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.
|
|
Решение. Удельную теплоемкость cV смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на Δ T выразим двумя способами:
Q = cV (m 1 + m 2)Δ T, (1)
Q = (cV ,1 m 1 + cV ,2 m 2)Δ T, (2)
где cV ,1 — удельная теплоемкость неона; cV ,2 — удельная теплоемкость водорода.
Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на Δ T, получим cV (m 1 + m 2) = cV ,1 m 1 + cV ,2 m 2. Отсюда
или
где и .
Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:
Произведем вычисления:
сV = (6,24∙102∙0,8 + 1,04∙104.0,2) Дж/(кг∙К) =
= 2,58∙103 Дж/(кг∙К) = 2,58 кДж/(кг∙К);
ср = (1,04∙103∙0,8 + 1,46∙104∙0,2) Дж/(кг∙К) =
= 3,75∙103 Дж/(кг∙К) = 3,75 кДж/(кг∙К).
Пример 9. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V 1 = l м3 и находится под давлением р 1 = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V 2 = 3 м, а затем при постоянном объеме до давления р 3 = 0,5 МПа. Найти изменение Δ U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.
Решение. Изменение внутренней энергии газа
(1)
где i — число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5); Δ Т = Т 3 — Т 1 — разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.
Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева — Клапейрона , откуда
Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой
Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:
A 2 = 0.
Следовательно, полная работа, совершаемая газом,
A = A 1 + A 2 = A 1.
Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии Δ U и работы А:
Q = Δ U + A.
Произведем вычисления, учтя, что для кислорода М = 32∙10–3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):
К = 385 К;
К = 1155;
К = 2887;
|
|
Дж = 0,400∙106 Дж = 0,4 МДж;
А = А 1 = 0,4 МДж;
Q = (3,24 + 0,4) МДж = 3,64 МДж.
График процесса приведен на рис. 7.
Пример 10. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре T 1 = 300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в п 1 = 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n 2 = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.
Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением
где γ — отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме; n 1 = V 2/ V 1.
Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:
Работа А 1 газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле
где CV — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа А 2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде
где п 2 = V 2/ V 3.
Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа γ = 1,4, i = 5 и М = 2∙10–3 кг/моль:
Так как 50,4 = 1,91 (находится логарифмированием), то
Дж = 29,8кДж;
Дж = –21 кДж.
Знак минус показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами.
График процессе приведен на рис. 8.
Пример 11. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика T 1 = 500 К. Определить термический КПД η цикла и температуру Т 2 теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А = 350 Дж.
Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой
где Q 1 — теплота, полученная от теплоотдатчика; А — работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Зная КПД цикла, можно по формуле η = (Т 1 — T 2) /T 1 определить температуру охладителя Т 2:
T 2 = T 1 (1 — η).
Произведем вычисления:
η = 350/1000 = 0,35; T 2 = 500(1 —0,35) К = 325 К.
Пример 12. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 cм. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?
Решение. Пленка мыльного пузыря имеет Две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление
где r — радиус пузыря. Так как r = d/ 2, то
Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на ΔS, выражается
формулой
A = αΔ S, или A = α(S — S 0).
В данном случае S — общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; S 0 — общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивавшей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая S 0, получаем
A = α S = 2π d 2α.
Произведем вычисления:
Па = 3,2 Па;
A = 2∙3,14∙(0,1)2∙40∙10–3 Дж = 2,5∙10–3 Дж = 2,5 мДж.