2014-02-02
683
Договоримся обозначать множество целых чисел через 
.
Теорема 4. Полукольцо натуральных чисел изоморфно вкладывается в кольцо целых чисел.
Доказательство.
Рассмотрим множество 
. Покажем, что 
подалгебра алгебры .
замкнуто относительно сложения и умножения (?)
Рассмотрим соответствие
заданное по правилу 
.
- отображение (?)
Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого натурального числа 
можно построить класс 
.
Однозначность:
(?)
ъ
- биекция (?)
Инъективность: 
(?)
.
Сюръективность: 
(?)
Возьмем 
, поскольку 
. В силу произвольности 
сюръективность доказана.
- гомоморфизм (?)
Сохранение операции сложения: 
(?)
Сохранение операции умножения: 
(?)
Таким образом доказано, что алгебра 
изоморфна подалгебре алгебры 
, следовательно, изоморфно вкладывается в .
что и требовалось доказать.
Замечание. Поскольку полукольцо натуральных чисел вкладываются в кольцо целых чисел, то отождествим элементы и , т.е. будем считать их (тождественно) равными. Ввиду этого отождествления получим 
.
|
|
|
