double arrow

Основные определения. Понятие множестваявляется фундаментальнымпонятием в математике



Понятие множестваявляется фундаментальнымпонятием в математике. Под множеством понимают совокуп­ность вполне определенных объектов, рассматривае­мых как единое целое. Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют его элементами.Природа объектов может быть самой различной. Например, можно говорить о множестве натуральных чисел, букв в алфави­те, множестве стульев в комнате, студентов в группе, людей, живущих в Томске и т. п.

Для обозначения конкретных множеств принято использовать прописные буквы A, S, X, ... Для обозначения элементов множества используют строчные буквы a, s, х,…

Множество X, элементами которого являются х1, х2, х3, обозначают: X = {x1, x2, х3}. Это первый способ задания множества ­­– перечисление всех его элементов. Он удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих не­большое число элементов.

Второй способ задания множества – опи­сательный. Он состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества.

Для указания того, что элемент х принадлежит множеству X, использу­ется запись х Î X. Запись х Ï X означает, что элемент х не принад­лежит множеству X.




Так, если М – множе­ство студентов группы, то множество X отличников этой группы записывается в виде

X = {х Î М | х – отличник группы}.

Это читается следующим образом: множество X состоит из элемен­тов х множества М таких, что х является отличником группы.

Известные числовые множества обозначим следующим образом:

N = {1, 2, 3, …} – множество натуральных чисел;

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Множество, не содержащее ни одного элемента, назы­вается пустым.Пустое множество обозначается Æ.

Пример. X = {х Î Z | х2 - х + 1 = 0} = Æ.

Множество X является подмножествоммножества Y, если любой элемент множества X принадлежит множеству Y. Этот факт записывается как X Ì Y.

Два множества X и Y равныв том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Равенство X = Y означает: если х Î X, то х Î Y и если у Î Y, то у Î X.

Для сокращения записи в теории множеств используются неко­торые логические символы. Это символы общности " и существо­вания $, а также символы следствия Þ и эквивалентности Û.

Смысл этих обозначений следующий:

" – «любой», «каждый», «для всех»;

$ – «существует», «найдется», «хотя бы один»;

Þ – «следует», «влечет»;

Û– «эквивалентно», «необходимо и достаточно».

Рассмотрим примеры использования этих символов.

1. Определение подмножества X Ì Y приводит к записи:

" х [х Î X Þ х Î Y].

2. Определение равных множеств X=Y приводит к записи: X = Y Û X Ì Y и Y Ì X.

Множество называется конечным,если оно содержит конеч­ное число элементов, и бесконечным,если число его элементов бесконечно.



Сейчас читают про: