Положительный конус и его свойства

Определение. К ≠{0} называется упорядоченным кольцом, если существует непустое подмножество Р ≠элементов кольца, называемое положительным конусом, удовлетворяющим условиям (аксиомам положительного конуса):

(1) ;

(2) ;

(3) .

Теорема 7. Если К – упорядоченное кольцо с положительным конусом Р, то бинарное отношение <, определенное на К по правилу , является строгим линейным порядком.

Доказательство.

Отношение - антирефлексивно (?)

(?)

Предположим, что , что противоречит аксиоме (1) положительного конуса, следовательно, предположение неверно.

Отношение - антисимметрично (?)

a<bb<ab=a (?)

a<bb<ab–a,a–bP, что противоречит аксиоме (1) положительного конуса. Таким образом, посылка импликации всегда ложна, следовательно, импликация истинна.

Отношение - транзитивно (?)

a<bb<сa<с (?)

a<bb<сb–a,с–bPa<c.

Отношение - линейно (?)

a<bb<aa=b (?)

Пусть a, bK, b – a K. По аксиоме (3) положительного конуса возможен один из трех случаев:

1. b – a =0, a=b,

2. b – a P, a<b,

3. -(b – a)=a – bP, b<a.

что и требовалось доказать.

Свойства отношения :

выполняется: