Доказательство. Абсолютная величина целого числа и его свойства

Абсолютная величина целого числа и его свойства.

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) целого числа a называется число .

Замечание. Данное определение корректно, поскольку множество {a,-a} – ограничено, следовательно, есть наибольшее.

Свойства модуля:

(доказательство самостоятельно)

Свойства 1 и 2 следуют из определения.

Свойство 3. Для доказательства равенства рассмотрим все возможные случаи:

1) . Из этих соотношений получаем:

.

2) . Отсюда имеем: .

3) . Отсюда получаем: .

4). Отсюда следует: .

Таким образом, во всех возможных случаях выполняется равенство .

Свойство 4. Из и получаем: .

Из и получаем: . .

В обоих возможных случаях имеем: .

Свойство 5. Из следует соотношение .

что и требовалось доказать.