Архимедовская расположенность кольца целых чисел

Теорема 16. Кольцо целых чисел является архимедовски расположенным, т.е. выполняются следующее условие (аксиома Архимеда): , где , такое, что a<nb.

Доказательство.

Пусть a и b - натуральные числа. Докажем справедливость утверждения методом математической индукции по .

1. База индукции b =1.

.

2. Индуктивное предположение.

Пусть верно для , т.е. .

3. Проверим для , т.е. (?)

Тогда .

Пусть теперь . Возможны случаи:

,

(доказано выше).

что и требовалось доказать.

Теорема 17. Кольцо целых чисел не является всюду плотным.

Доказательство.

Поскольку , а не является всюду плотным, то и также всюду плотным не будет.

что и требовалось доказать.