2014-02-02
1645
Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
Теорема 13. Любое непустое ограниченное снизу подмножество 
множества целых чисел имеет наименьший элемент.
Пусть В ограничено снизу элементом 
т.е. 
.. Рассмотрим множество 
. 
, т.к. 
. 
. Такой элемент 
обязательно найдется, т.к. в противном случае 
. Покажем, что 
наименьший в . 
. Предположим, что 
. Тогда 
. Последнее противоречит условию 
, следовательно, предположение неверно. Тогда 
такой, что 
. Таким образом, 
- наименьший в .
что и требовалось доказать.
Теорема 14. Любое непустое ограниченное сверху подмножество множества целых чисел имеет наибольший элемент.
