Архимедовская расположенность поля рациональных чисел.
Теорема 6. Поле рациональных чисел архимедовски расположенное, т.е. выполняется аксиома Архимеда: .
Пусть .
Заметим, что .
Поскольку кольцо целых чисел является архимедовски расположенным, имеем:
что и требовалось доказать.
Теорема 7. Поле рациональных чисел является всюду плотным.
Доказательство.
Пусть . Для определенности положим, что . Покажем, что элемент лежит между указанными элементами, т.е. . Докажем каждое из неравенств отдельно.
(?)
(?)
что и требовалось доказать.