Упорядоченность поля рациональных чисел

Определение. Поле называется упорядоченным, если кольцо является упорядоченным.

Теорема 5. Поле рациональных чисел упорядоченное.

Доказательство.

Рассмотрим подмножество . Легко проверить аксиомы положительного конуса.

возможен один из трех случаев:

§ ,

§

§ .

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Бинарное отношение < на Q, определенное по правилу является строгим линейным порядком и удовлетворяет свойствам 1.-6. (см. теорему об упорядоченных кольцах).

Следствие 2. Бинарное отношение на Q, определенное по правилу является линейным порядком.