2014-02-02
267Первоначально покажем, что алгебра 
не является ассоциативной.
. Рассмотрим кватернионы 
. 
не является ассоциативной.
Легко самостоятельно проверить, что в алгебре справедливы дистрибутивные законы: 
и 
; умножение удовлетворяет следующему условию: 
для любых 
и 
; 
- нейтральный элемент по умножению.
Определим в алгебре для элемента 
сопряженный элемент 
, где 
- сопряженный к 
в теле кватернионов. В справедливы следующие свойства:
для любых 
.
Нормой элемента 
договоримся называть 
. Причем
В справедливы следующие свойства:
1.
т.т.т., к. 
;
2. 
;
3. 
;
4.
.
для любых 
.
Замечание. Из свойствт.т.т., к. и следует, что если 
, то либо , либо 
.
Согласно вышеприведенному замечанию, в алгебре отсутствуют делители нуля.
Убедимся, что алгебра с делением. Рассмотрим уравнение 
, где 
. Элемент 
является решением данного уравнения. Проверим это.
. Аналогично устанавливается, что элемент 
является решением данного уравнения 
, где .
что и требовалось доказать.
Определение. Алгебра 
над полем 
называется альтернативной, если выполняется следующие аксиомы:
для любых .
Теорема. Алгебра над полем 
является альтернативной.
Замечание. Алгебра над полем является альтернативной, но не ассоциативной. В классе всех альтернативных алгебр лежат и ассоциативные.
