Общее уравнение плоскости

Плоскость в пространстве.

Расмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x,y,z;

Ax + By + Cz + D =0 (1)

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А,В,С не равен 0, например В≠0 перепишем уравнение (1) в виде:

А(х-0) + В(у+D\В) + C(z-0) = 0 (2)

Уравнения (1) и (2) являются уравнениями плоскости, нормальным вектором n(A;B;C) проходящей через . Итак, уравнение (1) определяет в системе координат Охуz некоторую плоскость. Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) D = 0, то Ах+Ву+Сz=0 – этому уравнению удовлетворяет точка 0(0;0;0), следовательно в этом случае плоскость проходит через начало координат.

2) С= 0, то Ах+Ву+D=0 n=(A;B;0) перпедикулярен Oz, следовательно плоскость:

если В=0 || Оу

А=0 || Ох

С=0 || Оz

3) C=D=0, то плоскость проходит через 0(0;0;0), то есть Ах+Ву=0 проходит через ось Oz

Аналогично: Ву+Сz = 0 ||Ox

Ax+Cz = 0 ||Oy

4) A=B=0 то уравнение (1) принимает вид Cz+D=0, то есть z=-D\C. Плоскость || плоскости Оху

Аналогично: Ах +D = 0 || Oyz

By +D = 0 || Oxz

5)A=B=D=0, то уравнение (1) имеет вид Cz=0, то есть z=0 – это уравнение плоскости Оху

Аналогично: y = 0 || Oxz

x = 0 || Oyz