Математические модели САУ. Уравнение объекта

Раздел 2.

Классификация САУ.

Методов исследования САУ много и имеется следующая их классификация, учитывающая способы математического описания.

САУ

По виду уравнений САУ. По характеру передачи сигнала. По характеру процессов в системе. По критерию качества.

Стационарные Нестационарные

Линейные Нелинейные

Непрерывные Дискретные

Цифровые Импульсные

Детерминированные Стохастические

С заданным качеством Оптимальные Адаптивные

В первой (классической) части курса рассматриваются стационарные линейные непрерывные системы с заданным качеством. Под заданным качеством понимается обеспечение требуемых инженерных показателей по принципу “не хуже заданного”.

Лекция 2

Непрерывные, линейные, детерминированные модели систем управления.

u(t) O y(t)

u(t)=(u₁(t)...u_m(t))^T

y(t)=(y₁(t)...y_p(t))^T

Может показаться, что моделью такого объекта может быть сложная нелинейная функция:

F(y,u)=0 (*)

На самом деле, такая функция часто не может описать объект. точнее, его динамику.

В соответствии с теоремой Юнга о неявно заданной функции, можно выразить:

y_i = j(y₁,... кроме y_i, y_p, u)

Нетрудно видеть, что ступенчатое изменение входного сигнала u приводит к ступенчатому же изменению выходного сигнала, т.е. отсутствуют переходные процессы. Поэтому для рассмотрения объектов имеющих переходные процессы необходимо использовать более сложные модели.

F(y¢, y¢¢,... y⁽ⁿ⁾, u¢, u¢¢,... u^(m))=0 (**)

- это наиболее общий вид нелинейного дифференциального уравнения, связывающего входной и выходной сигнал. Так как y и u, в свою очередь, являются векторами, то на самом деле (**) есть система нелинейных дифференциальных уравнений.

Существует два способа получения д.у. объекта:

1.Способ известных законов (закон Ома, законы механики и т.д.)

Применим в двух случаях: когда объект управления простой и система невысокого порядка. Или когда объект очень сложный и в следствии его сложности можно воспользоваться законами статистики.

2. Эвристический способ. Заключается в том, что вместо использования готовых законов, уравнения не вытекающие ни из каких законов предлагаются из опыта работы с предыдущими объектами и пр. Такое описание называют феноменологическим, т.е. описание объекта по основным чертам его внешнего поведения, без глубокого проникновения в сущность его функционирования. Полученная таким образом модель должна быть исследована на адекватность, т.е. насколько она соответствует требованиям. Далее следует проверка границ адекватности.

Построим модель водоема с карасями. Пусть в нем водится рыба, которая вылавливается с интенсивностью П.

x - количество рыбы.

П - интенсивность вылова, в единицу времени.

dx = k*x*dt - Пdt

k - коэффициент размножения, является функцией от x

k = k(x)» k₀ + k₁*x +... внимание!!! – это эвристическое выражение

(k₀ + k₁*x)x -П - дифференциальное уравнение.

k₀ - пропорционально количеству рыбы

k₁ x - пропорционально скорости роста рыбы

Упростим дифференциальное уравнение по формулам:

z c<1/4 z2 z1 t z 0.5 c>1/4 t z t

t = t*a

z = x/b

= (1-z)z - c

a = 1/k­₀ b = k₀/k₁ c = П/k₁

Видим, что полученная модель описывает интересные эффекты – стабилизация количества рыбы при умеренном вылове С и при достаточном начальном количестве z.

Напротив, караси вымирают за конечное время, если их было мало или ловили слишком много.

В данном примере дифференциальное уравнение получилось нелинейным. Только в следствии его крайней простоты удалось получить решение и в последствии попытаться разработать регулятор. Однако, для общих нелинейных дифференциальных уравнений этого сделать не удается и модель объекта приходиться упрощать. Единственным классом дифференциальных уравнений поддающимся эффективному исследованию, является линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и системы таких уравнений. В этом случае уравнение (**) примет следующий вид:

A₀y⁽ⁿ⁾ + A₁y^(n-1) +... +A­_ny = B₀u^(m) + B₁u^(m-1) +... +B­_nu (1)

Обозначим:

M = B_m + B_m-1 +... +B­₀

и соответственно:

N = A_n + A_n-1 +... +A­₀

Уравнение (1) примет вид:

N*y = M*u