double arrow

Лекция 3. Положения, лежащие в основе линеаризации

Положения, лежащие в основе линеаризации.

Линеаризация заключается в переходе к линейному дифференциальному уравнению, переменные которого являются отклонениями от некоторого номинального режима, удовлетворяющего уравнению (**).

Вычислим дифференциал F, введя предварительно следующие обозначения:

Z = (y¢, y¢¢, ... y(n))

U = (u¢, u¢¢, ... u(m))

F(Z,U)=0 (**)

Пусть Zн и Uн - номинальная траектория, удовлетворяющая (**)

т.к. траектория номинальная:

 
 


(2)

- линеаризованное уравнение.

При этом и - коэффициенты ряда Тейлора.

Введем: x = y-yн

и u = u-uн

(3)

Так как все частные производные представляют из себя либо постоянные матрицы, либо, в крайнем, случае матрицы зависящие только от времени, то полученное уравнение (3) есть либо система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, относительно отклонений x и u, либо система с переменными коэффициентами. Постоянность или переменность зависит от номинальной траектории. В частности, в системах стабилизации, где номинальные траектории - константы, получаются постоянные матрицы.

Таким образом , перейдя к уравнениям в отклонениях , мы получаем систему линейных дифференциальных уравнений , которую рассматриваем относительно выходной величины, т.е. порядок этой системы линейных дифференциальных уравнений равен n по порядку производной при x.

Дифференцирование же входного сигнала u рассматривается не как дифференциальное уравнение относительно u , а как операция с известным входным сигналом.

Соберем все коэффициенты дифференциальных уравнений в матрицы и получим окончательно следующую матричную систему:

A0(t)x + A1(t)x+…+An(t)x=B0(t)U+…+Bm(t)U

Если удаётся удачно выбрать номинальную траекторию (это зависит не только от мастерства исследователя, но и от самой задачи), матрицы Аi и Bi становятся постоянными . И для такой системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно получить до конца точное решение и полностью его исследовать. В случае постоянных коэффициентов система называется стационарной .

Чаще всего оказывается , что входные и выходные величины объекта - скалярные функции u b x:

a0x(n)+…+anx=b0u(m)+…+bmu (4)

(4) – описывает стационарный объект с одним входом и одним выходом .

Переход от дифференциального уравнения порядка n к системе из n-дифференциальных уравнений 1-го порядка

Вводим дополнительные переменные (x1……xn), равные производным х.

x(n)= -1/a0 (a1x(n-1)+…anx-b0u(m)-…bmu)

Вводим : х=cт *(x1……xn), здесь с-вектор констант, позволяющий вычислить х из

вектора (x1……xn)

(5)

Начальные условия для x(t) переходят в начальные условия для (x1……xn).

Получившаяся система дифференциальных уравнений (5) может быть записана в матричном виде следующим образом :

введем вектор


И (5) выражается :


Тогда:

Отметим, что настоящий выход объекта равен х1, то есть можно записать, что при с=(1 0 0 0 …0 ) х1= ст* (х1 …….х n).




Решение системы уравнений (6)всегда может быть записано в следующем виде :

Где первое слагаемое – решение однородного уравнения , второе – неоднородного .

Формула (7) справедлива вне зависимости от порядка исходного дифференциального уравнения.


Заключение : В правую часть уравнения (6) входят производные от управляющего воздействия . Можно показать , что от этих производных можно избавиться . Они будут вычисляться “автоматически” в процессе решения системы уравнений ,и выглядит это след. образом : нужно вместо b(t) взять

Коэффициенты g1 и gn вычисляем по следующей формуле :

g0=0


Это рекуррентная формула в том смысле , что g вычисляется последовательно .

Пример и геометрическая интерпретация линеаризации.


Есть не что иное , как уравнение поверхности в пространстве . Координат столько , сколько аргументов у функции . Номинальная траектория есть просто точка на поверхности, линеаризованное уравнение (2) – уравнение касательной плоскости


Сейчас читают про: