double arrow

Спектром периодической функции являются отдельные точки

Передаточной функции для системы дифференциальных уравнений (5,6) соответствует преобразование Лапласа для векторных сигналов , рассматривается абсолютно аналогично с учетом некоммутативности матриц .

Лекция 6

Рассмотрим систему чуть более общу, чем (6), она

отличается от (6) тем , что в данном случае может быть

многомерный вход и многомерный выход

А – матрица (m*n)

B – матрица (n*k)

H – матрица (p*n)

U – k-мерный вектор

Y – p-мерный вектор

Делаем преобразование Лапласа : (при 0 начальных условиях !!!)

(pE-A)x(p)=Bu(p)

x(p)=(pE-A)-1Bu(p)

Y(p)=H(pE-A)-1Bu(p) где H(pE-A)-1B – есть W(p)

Определение 3 :

Частотной характеристикой блока с передаточной функцией W(p) называется комплексно – значная функция вещественного аргумента W(jw) , т.е. при подстановке p= jw


Покажем, какая имеется связь между спектром сигналов в системе, частотной характеристикой и преобразованием Лапласа.

Спектром периодической ф-ии является набор ее коэффициентов Фурье . Если имеем периодическую функцию с периодом Т , то коэффициент Фурье ак вычисляется по формуле

При увеличении периода Т, спектр становится гуще .


Для непериодической функции спектр превращается в непрерывный :

При устремлении T в бесконечность , ряд Фурье переходит в интеграл Фурье , а коэффициенты Фурье переходят в преобразование Фурье по следующей формуле :


Интеграл Фурье следует понимать, как разложение Фурье x(t) по непрерывным частотам .


Т.к. x(t)є0 при t < 0 , то

Вывод : Подстановка p=jw в изображение по Лапласу произвольной функции , превращает преобразование Лапласа в спектр , или что то же самое , в преобразование Фурье .

Y(p)=W(p)U(p) p=jw

Y(jw)=W(jw)U(jw) (***) Явно описывает изменение спектра при прохождении через блок с передаточной функцией W(p)

Из (***) следует ,что при подаче на вход простого гармонического сигнала U(t)=sin wt , выходной сигнал в установившемся режиме будет гармоническим с изменившимися амплитудой и фазой .

U(t)=ejwt

Y(t)=A(w)ej(wt+j(w))=A(w)ejj(w) ejwt

W(jw)=Y(jw)/U(jw)= A(w)ejj(w) ejwt / e jwt = A(w)ejj(w) =ъ W(jw)ъ ei arg W(jw)

Где ъ W(jww)ъ - АЧХ -Амплитудно–частотная характеристика

Arg W(jw) - ФЧХ -Фазочастотная характеристика

W(jw) - АФЧХ -Амплитудно–фазо–частотная характеристика


Частотные характеристики показывают амплитуду и фазу установившегося гармонического сигнала на выходе при поступлении на вход гармонического сигнала единичной амплитуды.


Сейчас читают про: