Переходные процессы при подключении к источнику постоянного напряжения цепи с последовательным соединением элементов с R и L

Все катушки и обмотки электрических аппаратов и машин имеют сопротивление R и индуктивность L. Поэтому исследуемую электрическую цепь, изображенную на рисунке, можно считать эквивалентной схемой индуктивной катушки или обмотки, включаемой на постоянное напряжение.

В начальный момент времени тока в цепи нет и энергия магнитного поля индуктивной катушки равна нулю. После подключения цепи к источнику постоянного напряжения U в установившемся режиме в ней протекает ток I и энергия магнитного поля . Следовательно, в то время, когда происходит изменение энергии магнитного поля индуктивной катушки (от 0 до ), в цепи протекает переходный процесс и существует переменный ток i.

Переходный процесс в такой цепи описывается дифференциальным уравнением (по второму закону Кирхгофа)

Ток в установившемся режиме .Свободный ток i" находят, решая однородное дифференциальное уравнение

Решение этого уравнения ищут в виде

где коэффициент р – корень характеристического уравнения .

Таким образом, , а ток в переходном режиме

Постоянную интегрирования А определяем с учетом первого закона коммутации из начальных условий: при t =0 ток в цепи равен нулю. Получаем .

В результате

Величина имеет размерность времени и называется постоянной времени цепи. Она характеризует скорость протекания переходного процесса. Чем больше τ (больше L), тем дольше протекает ток i" и тем длительнее переходный процесс.

Как видно из рисунка, свободный ток i" при t =0 равен по значению установившемуся току I, но имеет обратное направление. С течением времени этот ток уменьшается до нуля. Общий ток в цепи изменяется от нуля до установившегося значения по экспоненциальному закону. При t=τ i"=е^-1. Это означает, что постоянная времени цепи равна такому промежутку времени, в течение которого свободный ток уменьшается в е раз.

В моменты времени t=kτ значения свободного тока i "= 1/e^k и по отношению к значению установившегося тока соответственно составляют (%): 36,00 (при t=τ); 13,50 (t = 2τ); 5,00 (t = 3τ); 1,80 (t = 4τ); 0,67 (t = 5τ); 0,25 (t = 6τ).

Из этих данных следует, что уже при t=5τ ток в цепи отличается оттока I менее чем на 1 %, поэтому его можно считать установившимся.

Падение напряжения на резисторе и_R = Ri изменяется по такому же закону, что и ток. Падение напряжения на индуктивной катушке

т. е. убывает с течением времени от значения напряжения источника питания до нуля.