Переходные процессы при зарядке и разрядке конденсатора

Рассмотрим схему, в которой путем включения переключателя П в положение 1 замыкают источник постоянного напряжения U на конденсатор емкостью С. На обкладках конденсатора начинают скапливаться заряды и напряжение и_с увеличивается до значения, равного U. Это процесс зарядки конденсатора – процесс увеличения энергии электрического поля конденсатора, которая в конце процесса достигает значения CU²/2.

Чтобы зарядить конденсатор до напряжения и_с=U, ему надо сообщить заряд Q = CU, Этот заряд не может быть сообщен мгновенно, так как для этого потребовался бы ток i = dQ/dt=Q /0= ∞.

В действительности зарядный ток в цепи ограничен сопротивлением R и в первый момент не может быть больше U/R. Поэтому процесс зарядки конденсатора растянут во времени и напряжение и_с на конденсаторе нарастет постепенно.

Для переходного процесса зарядки конденсатора, включенного по рассматриваемой схеме, можно записать

Ток в такой цепи

Подставляя данное выражение в предыдущее, получим

Найдем напряжение на конденсаторе:

Свободное напряжение и_с” находят, решая однородное дифференциальное уравнение

которому соответствует характеристическое уравнение RCp +1=0, откуда р =-1 /(RC). Тогда свободное напряжение

где τ = RC – постоянная времени цепи.

Таким образом, напряжение на конденсаторе в переходном режиме

а ток

причем

,

В предыдущих двух уравнениях постоянную А находят с учетом второго закона коммутации из начальных условий режима работы цепи, которые различны для процессов зарядки и разрядки конденсатора.

Зарядка конденсатора. Рассмотрим конденсатор, который до включения переключателя П в положение 1 не был заряжен. По окончании процесса зарядки напряжение на конденсаторе равно напряжению источника питания U, что следует из уравнения , если учесть, что в установившемся режиме i=i' =0. Таким образом, установившееся напряжение на конденсаторе и_с = U. Постоянную А в уравнении определяют, полагая, что при t =0 и_с =0. Тогда A=-U.

Итак, напряжение в переходном режиме при зарядке конденсатора изменяется по закону

Для определения тока в цепи в необходимо принять i' =0 и А =- U, после чего получим

На рисунке показано изменение тока в цепи и напряжения на конденсаторе при его зарядке. В начальный момент процесса зарядки ток в цепи ограничен только сопротивлением и при малом значении R может достигать больших значений I ₀= U/R. Переходный процесс, протекающий при зарядке конденсатора, используют в различных устройствах автоматики, например в электронных реле времени.

Постоянная времени τ = RC характеризует скорость зарядки конденсатора. Чем меньше R и С, тем быстрее заряжается конденсатор.

Разрядка конденсатора. Если переключатель П включить в положение 2, то заряженный до напряжения U_с конденсатор начнет разряжаться через резистор R. Энергия электрического поля конденсатора будет постепенно расходоваться на нагревание резистора и окружающей среды. По истечении некоторого времени установится режим, при котором напряжение на конденсаторе будет равно нулю (конденсатор полностью разряжен), а тока в цепи не будет.

Принимая и_с =0 и находя из начальных условий (при t =0 u_c = U_с) А=U_c, получаем, что напряжение на конденсаторе при разрядке, описываемое формулой

,

а ток в цепи, описываемый формулой , с учетом, что i' =0,

Итак, напряжение и ток убывают по экспоненциальному закону. Ток в цепи отрицательный, т. е. направлен противоположно току во время процесса зарядки. Скорость разрядки конденсатора определяется постоянной времени τ = RC. В начальный момент ток разрядки I ₀= U_c/R. Если бы ток оставался постоянным, то конденсатор полностью разрядился бы через t_разр = Q / I₀ = CU_C/(U_C/R)=RC=τ.

Поэтому, постоянную времени можно определить как промежуток времени, в течение которого конденсатор полностью зарядился (или разрядился) бы, если бы ток зарядки (или разрядки) оставался постоянным и равным начальному значению U/R (или U_c/R).