Лекция №6
Контрольные вопросы
1. От чего зависит величина ёмкости, как можно увеличить ёмкость?
2. Почему в плоском конденсаторе плотность зарядов на пластинах – величина постоянная?
3. Как можно увеличить ёмкость плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов?
4. Определите ёмкость двухпроводной линии, находящейся над землёй.
Методы расчёта электростатических полей.
1. Зеркальный метод изображений и метод Сирла.
2. Решение уравнения Лапласа.
3. Метод интегральных уравнений.
Краткое содержание лекции
Метод зеркальных изображений является весьма эффективным и в ряде случаев существенно упрощает решение задачи. Пусть заряженное тело находится над проводящим полупространством (в том числе и над Землёй) (рис.1).
Идея метода заключается в том, что полупространство убирается и заменяется ещё одним зарядом противоположным по знаку и расположенным по другую сторону границы полупространства. При этом граничные условия на границе раздела воздух-полупространство сохраняются . Затем ведётся расчёт поля двух противоположно заряженных тел.
|
|
Метод зеркальных изображений можно применить и в том случае, когда область расчёта поля представляет собой два полупространства с различными диэлектрическими проницаемостями и (рис.2) (задача Сирла).
Идея метода Сирла в следующем. В верхней части полупространства поле рассчитывается как поле двух зарядов q и , расположенных в пространстве с диэлектрической проницаемостью (рис.2.б). В верхней части пространства поле рассчитывается как поле одного заряда расположенного в пространстве с диэлектрической проницаемостью .
Поскольку на границе двух сред должны выполняться граничные условия , то можно записать следующее соотношение.
Откуда получаем систему уравнений:
;
Поскольку расчёт электростатического поля в аналитической форме (то есть в виде формул) удаётся получить в редких случаях, расчёт поля выполняется численными методами. Один из них наистарейших, очень распространённый и проверенный практикой метод конечных разностей. Пространство, в котором ищется решение уравнения Лапласа, разбивается на элементарные площадки (рис.3).
При разбиении области решения на элементарные площадки производные аппроксимируются следующими выражениями:
Весь оператор Лапласа заменяется приближённым соотношением:
Таким образом, уравнение Лапласа сводится к следующему дискретному уравнению:
Уравнение Пуассона аппроксимируется выражением:
Аппроксимация оператора Лапласа дискретной функцией позволяет свести решение уравнения Лапласа к решению системы линейных алгебраических уравнений.
|
|
Метод интегральных уравнений.
Соотношение
(1) |
(φ0 – потенциал внешнего источника)
является интегральным уравнением Фредгольма первого рода. Для его численного решения поверхность разбивается на элементарные площадки и (1) превращается в систему линейных уравнений.
Однако система уравнений является плохо обусловленной и для её решения требуются специальные методы, которые называются регуляризацией. Плотность фиктивного слоя зарядов на разделе двух сред с различной диэлектрической проницаемостью равна:
(2) |
здесь нормальная составляющая напряжённости поля в точке М (рис.4).
,
поскольку
(3)
где нормальная составляющая от внешних источников электростатического поля. Согласно (2)
или
(4) |
Уравнение (4) называется уравнением Фредгольма второго рода и решается численными методами.