double arrow

План лекции. 1. От чего зависит величина ёмкости, как можно увеличить ёмкость?


Лекция №6

Контрольные вопросы

1. От чего зависит величина ёмкости, как можно увеличить ёмкость?

2. Почему в плоском конденсаторе плотность зарядов на пластинах – величина постоянная?

3. Как можно увеличить ёмкость плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов?

4. Определите ёмкость двухпроводной линии, находящейся над землёй.

Методы расчёта электростатических полей.

1. Зеркальный метод изображений и метод Сирла.

2. Решение уравнения Лапласа.

3. Метод интегральных уравнений.

Краткое содержание лекции

Метод зеркальных изображений является весьма эффективным и в ряде случаев существенно упрощает решение задачи. Пусть заряженное тело находится над проводящим полупространством (в том числе и над Землёй) (рис.1).

Идея метода заключается в том, что полупространство убирается и заменяется ещё одним зарядом противоположным по знаку и расположенным по другую сторону границы полупространства. При этом граничные условия на границе раздела воздух-полупространство сохраняются . Затем ведётся расчёт поля двух противоположно заряженных тел.

Метод зеркальных изображений можно применить и в том случае, когда область расчёта поля представляет собой два полупространства с различными диэлектрическими проницаемостями и (рис.2) (задача Сирла).

Идея метода Сирла в следующем. В верхней части полупространства поле рассчитывается как поле двух зарядов q и , расположенных в пространстве с диэлектрической проницаемостью (рис.2.б). В верхней части пространства поле рассчитывается как поле одного заряда расположенного в пространстве с диэлектрической проницаемостью .

Поскольку на границе двух сред должны выполняться граничные условия , то можно записать следующее соотношение.

Откуда получаем систему уравнений:

;

Поскольку расчёт электростатического поля в аналитической форме (то есть в виде формул) удаётся получить в редких случаях, расчёт поля выполняется численными методами. Один из них наистарейших, очень распространённый и проверенный практикой метод конечных разностей. Пространство, в котором ищется решение уравнения Лапласа, разбивается на элементарные площадки (рис.3).

При разбиении области решения на элементарные площадки производные аппроксимируются следующими выражениями:

Весь оператор Лапласа заменяется приближённым соотношением:

Таким образом, уравнение Лапласа сводится к следующему дискретному уравнению:

Уравнение Пуассона аппроксимируется выражением:

Аппроксимация оператора Лапласа дискретной функцией позволяет свести решение уравнения Лапласа к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Метод интегральных уравнений.

Соотношение

(1)

0 – потенциал внешнего источника)

является интегральным уравнением Фредгольма первого рода. Для его численного решения поверхность разбивается на элементарные площадки и (1) превращается в систему линейных уравнений.

Однако система уравнений является плохо обусловленной и для её решения требуются специальные методы, которые называются регуляризацией. Плотность фиктивного слоя зарядов на разделе двух сред с различной диэлектрической проницаемостью равна:

(2)

здесь нормальная составляющая напряжённости поля в точке М (рис.4).

,

поскольку

(3)

где нормальная составляющая от внешних источников электростатического поля. Согласно (2)

или

(4)

Уравнение (4) называется уравнением Фредгольма второго рода и решается численными методами.


Сейчас читают про: