2014-02-02
569
Лекция №13
Контрольные вопросы
1. Почему перед реактивной ёмкостной мощностью появился знак минус?
2. Если мощность передаётся вне проводов, то зачем нужны провода, и можно ли без них обойтись?
3. Как направлен вектор Пойнтинга во внутренней жиле кабеля?
4. Приведите другие примеры расчёта передаваемой мощности.
Электромагнитное синусоидальное поле в проводящем
полупространстве.
1. Плоская электромагнитная волна.
2. Вывод уравнения Гельмгольца.
3. Решение уравнения Гельмгольца для плоской волны.
4. Анализ решения уравнения Гельмгольца.
Краткое содержание лекции
Если электромагнитная волна распространяется в пространстве и при этом в плоскости имеет одинаковые значения векторов 
и 
, то такая волна называется плоской.
Если электромагнитное поле распространяется в проводящем пространстве, то доминирующими становятся токи проводимости, а токами смещения можно пренебречь. Тогда система уравнений Максвелла приобретает вид:
Выразим вектор 
из первого уравнения и подставим его значение во второе уравнение:
Получаем:
или
,
Поскольку 
, окончательно получаем:
| (1) |
Уравнение (1) называется уравнением Гельмгольца.
Такое же уравнение можно получить относительно вектора напряжённости электрического поля:
| (2) |
Обозначим 
Тогда:
| (3) |
Комплексную величину р можно получить в следующем виде:
где 
Запишем уравнение (3) в декартовой системе координат, при этом уравнение (3) распадается на три уравнения:
| (4) |
Пусть вектор 
имеет одну составляющую 
. В полупространстве этот вектор может изменяться только по координате у, а от х и z вектор не зависит. То есть имеем плоскую волну. Тогда уравнение из системы уравнений (4) в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение:
| (5) |
Характеристическим уравнением уравнения (5) будет:
Решение уравнения (5) имеет вид:
| (6) |
Поскольку у растёт от 0 в положительном направлении, то первое слагаемое в формуле (6) обращается в бесконечность, поэтому оно отбрасывается. В итоге получаем:
Граничным условием будет: при 
. Следовательно,
Окончательно запишем:
Найдём величину напряжённости электрического поля:
| (7) |
Пусть 
, тогда как функции времени вектора напряжённости магнитного и электрического полей можно записать так:
 А/м
| (8) |
 , В/м
| (9) |
Соотношения (8) и (9) представляют собой волны (рис.3), затухающие с увеличением у:
волновое сопротивление.
Длина волны равна у, при котором волны повторяются.
Фазовая скорость движения фазы волны в пространстве, то есть фаза волны должна оставаться неизменной:
Фазовая скорость равна:
Глубиной проникновения электромагнитной волны в полупространство называется расстояние от поверхности проводящего пространства, при котором амплитуда колебаний уменьшается в 
раз:
– это глубина проникновения электромагнитной волны в проводящее пространство.
