486
Дифференцирующее звено
Сначала рассмотрим идеальное дифференцирующее звено. Дифференциальное уравнение этого звена устанавливает пропорциональность выходной величины скорости изменения входной величины:
. (3.5)
Операторное уравнение: Y(p) = kp X(p).
Передаточная функция где k – коэффициент, имеющий размерность времени.
Комплексная частотная характеристика .
Действительная часть U(ω) = 0, мнимая часть V(ω) = k ω.
Амплитудная частотная характеристика .
Амплитуда растет линейно с частотой.
Фазовый угол для всех частот 90°(tgj(w)=µ), что означает постоянное опережение по фазе при любой частоте.
Отсюда следует, что ЛАХ L(w) =20lg k w =20lg k+20lg w, построенная в логарифмическом масштабе lg w, является графиком прямой линии с наклоном +20дБ/дек относительно оси частот (рис. 4), а ЛФХ j(w) =p/ 2 .
Переходная функция – в ответ на единичное ступенчатое воздействие – имеет вид:
То есть, на выходе появляется единичный импульс, усиленный в k раз.
Осуществить практически идеальное дифференцирующее звено невозможно. Но реализуемы математические модели, в которых присутствует дифференцирующая составляющая dx/dt. Так, если записать в правой части инерционного звена вместо усилительного дифференцирующее воздействие, получается математическая модель, которую называют «реальное дифференцирующее звено».
(3.6)
Операторное уравнение: (Tp + 1)Y(p) = kpX(p).
Передаточная функция .
Комплексная частотная характеристика .
Действительная и мнимая частотные характеристики
, .
Амплитудная частотная характеристика .
У идеального дифференцирующего звена с увеличением ω амплитуда линейно возрастает до ∞. У реального дифференцирующего звена амплитуда возрастает монотонно, стремясь к пределу k/T.
Фазовая частотная характеристика tg φ(ω) = .
При ω = 0, φ = 90°, как у идеального дифференцирующего звена. Но мере увеличения частоты опережение по фазе уменьшается до нуля.
.
| Рис. 3.6. Асимптоты ЛАЧХ реального дифференцирующего звена | Найдем асимптотические прямые логарифмической амплитудной частотной характеристики. В области ω < 1 . В области ω > 1 L2 = 20 lg (k/T). Прямая L1 пересекает ординату в точке с координатами lg ω= 0, L1 = 20 lg k, абсциссу – в точке с координатами lg ω = lg(1/k), L1 = 0. Cледует учесть, что k > 1 и потому lg (1/k) – число отрицательное. Прямая L2 параллельна оси абсцисс, пересекает ординату в точке lg ω= 0, L2 = 20 lg(k/T). |
Прямые L1 и L2 пересекаются в точке с абсциссой lg ω= lg (1/T). График представлен на рис. 3.6.
Чтобы найти переходную функцию, в операторном уравнении заменим X(p) на 1/p:
.
Таблица преобразований Лапласа указывает, что .
Значит, переходная функция имеет вид .
В момент t = 0 h(0) = k/T. По мере увеличения t, функция h(t) экспоненциально уменьшается до нуля. Напомним: в идеальном дифференцирующем звене переходная функция имеет вид импульса.
