Свойства неопределенного интеграла

Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции.

Напомним, что если – дифференцируемая в точке функция, то произведение

является дифференциалом функции в точке соответственно приращению аргумента .

Для дифференцируемых функций и правила действий над их дифференциалами аналогичны правилам вычисления производных (здесь и везде далее – произвольное число), а именно:

;

; ;

; ;

.

Для первообразной функции из соотношения , имеем или – подведение функции под дифференциал.

Используя указанные равенства, получаем следующие свойства неопределенного интеграла.

Свойство 1. ,

т.е. производная неопределенного интеграла (производная каждой функции множества всех первообразных ) равна подынтегральной функции.

Свойство 2. ,

т.е. дифференциал неопределенного интеграла (дифференциал
каждой функции множества всех первообразных) равен подынтегральному выражению.

Иначе, знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак «»стоит перед знаком «».

Свойство 3. ,

т.е. неопределенный интеграл от дифференциала какой-либо функции равен сумме этой функции и произвольного числа . Иначе, если знак «»стоит рядом и перед знаком «», то эти знаки тоже взаимно уничтожаются, причем к функции прибавляется произвольное число .

Свойство 4. – аддитивность по функции операции интегрирования, т.е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций (предполагается, что все участвующие в равенстве интегралы существуют). При этом, если и , то записывают , объединяя и в одну произвольную постоянную .

Свойство 4 верно для суммы конечного множества слагаемых.

Свойство 5. , , –

Однородность операции интегрирования, т.е. при вычислении неопределенного интеграла постоянный ненулевой множитель можно
выносить за знак интеграла (соответственно можно вносить под знак интеграла).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. В силу свойства 4 имеем .

Согласно свойству 5 выполняются равенства: , , .

Из ранее рассмотренных примеров имеем и . Поэтому . Отсюда в силу свойства 3 .

Свойство 6. Пусть – первообразная для на ; функция – произвольная дифференцируемая на функция, множество значений которой совпадает с . Тогда равенство сохраняется, если заменить в обеих частях его переменную интегрирования функцией

, .

В самом деле, вычисляя дифференциал сложной функции , получим выражение

,

совпадающее с подынтегральным выражением интеграла, что
доказывает справедливость формулы.

Свойство 6. называют обычно свойством инвариантности
формул интегрирования и используют при вычислении интегралов (замена переменной).

Пример. Равенство в силу свойства 6 можно записать в виде , где (или ) – произвольная дифференцируемая функция, и использовать в качестве формулы для вычисления многих интегралов. Например,

, ,

,

.

Заметим, что более общая формула

(– произвольное число, ) следует из равенства , если использовать свойство 6.

Аналогично из каждой формулы дифференцирования элементарной функции путем ее обращения получается «интегральная» формула . Подобные формулы составляют таблицу основных интегралов, которые называются для краткости «табличными».

В практике вычисления неопределенных интегралов обычно пользуются специальными справочниками.