2014-02-02
826
1). Полярной системой координат удобно пользоваться, если область интегрирования ограничена окружностью или линией 
, или линией, уравнение которой содержит 
.
2). Если уравнение линии, ограничивающей область, или подынтегральная функция содержат 
, то удобно перейти к обобщенным полярным координатам
; тогда 
.
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 
.
Решение. Сначала построим линию, исследуя ее уравнение. Выражение 
неотрицательно, значит, и 
неотрицательно, т.е. линия находится в первой и третьей четвертях. Уравнение линии не изменится при замене 
на 
и 
на 
. Значит, эта линия симметрична относительно начала координат и ее достаточно построить в первой четверти, а затем воспользоваться симметрией.
Наличие в уравнении линии выражения наводит на мысль воспользоваться обобщенными полярными координатами .
Тогда 
и уравнение линии примет вид
, или 
, или 
.
Как отмечалось, достаточно сначала построить линию в первой четверти, т.е. для 
, принадлежащих отрезку 
. Для этого составим следующую таблицу:
| |  |  |  |  |  |
 | |  |  | | |
Построим точки с вычисленными координатами 
, соединим их плавной линией, которую затем, воспользовавшись свойством симметрии, отобразим зеркально относительно начала координат (рис. 6). Вычислим площадь 
той части фигуры, которая расположена в первой четверти:
.
Чтобы расставить внутренние пределы интегрирования, т.е. пределы изменения , будем двигаться в области 
по лучам, выходящим из полюса. На каждом таком луче меняется от значения 
в точке 0 до значения на линии, ограничивающей область . Кроме того, эта область заключена между лучами 
и 
. Поэтому 
.
Вычислим повторный интеграл, начиная с вычисления внутреннего интеграла
Пример 2. Доказать, что 
.
Решение. Вычислим вспомогательный интеграл 
для двух областей:
а) если 
круг
, то, переходя к полярным координатам, получим
при 
область 
, расширяясь, заполнит всю плоскость (обозначим ее 
) и
б) если квадрат 
, то
;
при 
область , расширяясь, опять заполнит всю плоскость () и
.
Итак, 
