1). Полярной системой координат удобно пользоваться, если область интегрирования ограничена окружностью или линией , или линией, уравнение которой содержит .
2). Если уравнение линии, ограничивающей область, или подынтегральная функция содержат , то удобно перейти к обобщенным полярным координатам
; тогда .
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .
Решение. Сначала построим линию, исследуя ее уравнение. Выражение неотрицательно, значит, и неотрицательно, т.е. линия находится в первой и третьей четвертях. Уравнение линии не изменится при замене на и на . Значит, эта линия симметрична относительно начала координат и ее достаточно построить в первой четверти, а затем воспользоваться симметрией.
Наличие в уравнении линии выражения наводит на мысль воспользоваться обобщенными полярными координатами .
Тогда и уравнение линии примет вид
, или , или .
Как отмечалось, достаточно сначала построить линию в первой четверти, т.е. для , принадлежащих отрезку . Для этого составим следующую таблицу:
Построим точки с вычисленными координатами , соединим их плавной линией, которую затем, воспользовавшись свойством симметрии, отобразим зеркально относительно начала координат (рис. 6). Вычислим площадь той части фигуры, которая расположена в первой четверти:
.
Чтобы расставить внутренние пределы интегрирования, т.е. пределы изменения , будем двигаться в области по лучам, выходящим из полюса. На каждом таком луче меняется от значения в точке 0 до значения на линии, ограничивающей область . Кроме того, эта область заключена между лучами и . Поэтому .
Вычислим повторный интеграл, начиная с вычисления внутреннего интеграла
Пример 2. Доказать, что .
Решение. Вычислим вспомогательный интеграл для двух областей:
а) если круг, то, переходя к полярным координатам, получим
при область , расширяясь, заполнит всю плоскость (обозначим ее ) и
б) если квадрат , то
;
при область , расширяясь, опять заполнит всю плоскость () и
.
Итак,