2014-02-02
1807
8.1 Вычисление двойных интегралов базируется на
понятии повторного интеграла
Пусть 
рассматривается на плоской области 
и она правильная в направлении оси 
, т.е. всякая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда область удобно спроектировать на ось 
. Пусть проекция на есть 
.
Если 
– уравнение нижней границы, а 
– уравнение верхней границы, то любому 
области принадлежат те точки 
вертикального отрезка, которые удовлетворяют
неравенствам
(*)
Выражение вида 
называется повторным
интегралом от функции по области . Он вычисляется
следующим образом:
сначала находится внутренний интеграл (
– переменная интегрирования, 
– фиксированная), а затем полученную функцию аргумента интегрируем на .
Значение повторного интеграла – число.
Пример 1. Вычислить повторный интеграл 
,
восстановив область .
Решение. Интеграл вычисляется по : 
(см. рисунок).
.
Аналогично:
если область – правильная в направлении оси , то ее удобно проектировать на ось . Пусть проекция области на ось есть отрезок 
, уравнение левой границы области 
, а правой границы – 
. Тогда для всякого 
значение точек прямой 
, принадлежащих области , удовлетворяет неравенствам 
. Поэтому область можно
задать в виде
(см. рисунок).
Такому заданию области соответствует повторный интеграл 
. Для его вычисления находится сначала внутренний интеграл, а затем внешний.
Результат – число!
Пример 2. Зададим область примера 1, проектируя ее на ось , 
Вычислить повторный интеграл 
.
Решение. 
.
Замечаем, что значения различных повторных интегралов
функции по области оказались равными.
Доказано (см. [1]) утверждение:
если непрерывна на , 
; область является
правильной в направлении осей координат, то значение двойного интеграла 
совпадает со значением соответствующего повторного интеграла, причем результат не зависит от порядка
интегрирования, т.е.
.
