Замечания

1). К сферическим координатам целесообразно переходить, когда тело ограничено сферой , конусом или поверхностью, уравнение которой содержит .

2). Наиболее удобен порядок интегрирования (слева направо) по

3). Сначала расставить пределы интегрирования по (двигаясь по лучу из начала координат), потом ─ по (двигаясь от оси ), потом ─ по .

4). Если уравнение границы области или подынтегральная функция содержат , то следует перейти к обобщенным сферическим координатам

тогда ,

Пример 1. Вычислить момент инерции относительно плоскости однородного (с плотностью ) тела, ограниченного поверхностями

Решение. Момент инерции тела вычислим по формуле

Так кактело ограничено сферой и конусом (рис. 2), то перейдем к сферическим координатам. При этом, учитывая формулы (7.30), уравнение сферы примет вид или ; уравнение конуса примет вид

, или , или .

Используя формулы, получим

Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностью

.

Решение. Перейдем к обобщенным сферическим координатам

. В этих координатах

и уравнение поверхности примет вид

или .

По условию , поэтому и . Cоставим таблицу:

Построим точки с вычисленными координатами сначала при , т.е. в

плоскости (рис. 3). Так как уравнение поверхности от не зависит, то при любом получим такую же линию; все эти линии образуют поверхность вращения (рис. 3). Объем тела, ограниченного этой поверхностью, вычислим с учетом соотношения при :

Чтобы расставить пределы изменения , будем двигаться в области по лучам, выходящим из начала координат. На каждом таком луче меняется от значения в начале координат до значения на поверхности, ограничивающей область . Кроме того, эта область заключена между лучами и , . Поэтому

.