Замечания. 1). К цилиндрическим координатам целесообразно переходить, когда уравнение

1). К цилиндрическим координатам целесообразно переходить, когда уравнение

поверхностей, ограничивающих тело, содержит .

2). Внутреннее интегрирование обычно удобно вести по .

Пример 4. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями, если плотность

Решение. Поверхность строим методом сечений:

Получаем параболоид (рис. 4).

Поверхность также строим методом сечений

Получаем конус (рис. 4).

В цилиндрической системе координат уравнения этих поверхностей имеют более простой вид: Решив систему из этих двух уравнений, найдем пересечение этих поверхностей ─ окружность

Вычислим массу тела, используя для вычисления интеграла цилиндрическую систему координат, учитывая, что , внутреннее интегрирование ─ по , причем на прямой, параллельной оси , меняется от на конусе до на поверхности параболоида (рис. 4):

11. Лекционное занятие. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Положение точки в пространстве можно охарактеризовать с помощью сферических координат , где длина радиус-вектора точки (рис. 1, угол отклонения радиус-вектора точки от оси , угол отклонения проекции на плоскость радиус-вектора точки от оси

Установим связь между прямоугольными и сферическими координатами. Из прямоугольного треугольника имеем . Так как , то

Вычислим якобиан

.

Раскроем определитель по элементам третьей строки

Тогда элемент объема в сферических координатах

Для вычисления тройного интеграласледует

1) заменить на их выражения в сферической системе координат,

2) заменить область изменения переменных на область изменения переменных .