Поверхностный интеграл первого рода

Вычисление поверхностного интеграла 1 рода сводится к вычислению двойного интеграла. Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1. Пусть гладкая поверхность задана параметрическими уравнениями

или .

По определению, поверхностный интеграл функции по поверхности есть предел интегральной суммы функции , который не зависит от способа разбиения поверхности на ячейки:

Удобно разбить поверхность на ячейкикоординатными линиями Выделим одну из таких ячеек (рис. 4). Рассмотрим радиус-векторы точек : Тогда

и площадь ячейки

По аналогии с этим элемент площади поверхности

Можно показать (строгое доказательство опускаем), что

Итак, получили следующее правило:

Для вычисления поверхностного интеграла следует

1) в подынтегральной функции подставить вместо их значения на поверхности , т.е. ,

2) заменить элемент площади на выражение ;

3) вычислить получившийся двойной интеграл по области изменения переменных .

Случай 2. Пусть гладкая поверхность задана уравнением, разрешенным относительно : . Присоединив два очевидных тождества, получим параметрические уравнения поверхности

(параметры); тогда ,

и по формуле (7.34) получим .

Итак, для вычисления поверхностного интеграла следует:

1) в подынтегральной функции заменить его значением на поверхности ,

2) заменить элемент площади на выражение ,

3) вычислить получившийся двойной интеграл по проекции поверхности на плоскость .

Случай 3. Пусть гладкая поверхность задана уравнением, разрешенным относительно : . Тогда

Здесь есть проекция поверхности на плоскость .

Случай 4. Пусть гладкая поверхность задана уравнением, разрешенным относительно : . Тогда

Здесь есть проекция поверхности на плоскость .

Пример 1. Найти массу однородной поверхности , , если .

Рис. 5

Решение. Построим поверхность

методом сечений. В сечении

получаем

или

. Это – пара прямых в плоскости

(рис. 5). В сечении

получаем окружность

. Таким образом, уравнение

определяет коническую поверхность. Массу поверхности найдем с помощью поверхностного интеграла:

Для вычисления этого интеграла уравнение поверхности удобно разрешить относительно : . Найдем , и затем по первой из формул:

Теперь вычислим , подставляя значение на поверхности и

значение :

Здесь есть проекция конической поверхности на плоскость , т.е. круг радиусом (рис. 5). Двойной интеграл по кругу удобнее вычислять в полярной системе координат. Для этого заменим на , а на . Получим