2014-02-02
8881
Вектор 
является важной характеристикой скалярного поля. Введем условный оператор 
(оператор Гамильтона или вектор “набла”). С его помощью удобно записать градиент скалярного поля
.
Отметим ряд свойств градиента.
1). Скалярное поле 
в точке 
быстрее всего возрастает в направлении вектора 
со скоростью, равной 
.
2). Скалярное поле в точке быстрее всего убывает в направлении, противоположном вектору , со скоростью, равной .
3). Вектор направлен по нормали к поверхности уровня поля , проходящей через точку .
4). Дифференциальные свойства:
Проверим эти свойства.
1. Из формулы и определения скалярного произведения следует, что
,
где 
─ угол между векторами и 
. Так как длина единичного вектора 
равна единице, то
.
Поэтому 
принимает наибольшее значение, равное , когда 
=1, то есть угол между векторами и равен нулю и 
.
2. Производная будет принимать наименьшее значение, когда 
, т.е. угол =
и 
.
3. Поверхность уровня поля 
имеет уравнение 
. Нормальный вектор этой поверхности 
совпадает с . Значит, вектор направлен по нормали к поверхности уровня поля , проведенной в точке .
4.1. 
аналогично проверяются свойства 4.2), 4.3), 4.4);
для проверки свойства 4.5) учтем, что 
аналогично, 
и поэтому
.
Из первого и третьего свойств следует инвариантное определение градиента, т.е. определение, не зависящее от системы координат:
Градиент скалярного поля 
в точке есть вектор, который
а) по величине равен наибольшей скорости возрастания поля в точке ,
б) направлен по нормали к поверхности уровня поля , проходящей через точку , в сторону наибольшего возрастания поля.
Пример 1. Найти наибольшую скорость возрастания поля 
в точке 
.
Решение. Найдем градиент поля:
.
Наибольшая скорость возрастания поля в точке 
равна
Пример 2. Доказать оптическое свойство эллипса: лучи, выходящие из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса проходят через другой фокус эллипса.
Решение. Пусть 
фокусы эллипса; 
. Рассмотрим
скалярное поле 
. По определению эллипса точка 
принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда 
, т.е. эллипс есть линия уровня скалярного поля 
; поэтому 
направлен по нормали к эллипсу в точке . Кроме того, этот вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах 
. Длины этих векторов равны единице, поэтому параллелограмм является ромбом и его диагональ является биссектрисой угла ромба, т.е. 
. Тогда 
, как углы дополнительные до прямого. Так как 
то 
т.е. луч, выходящий из фокуса 
эллипса, после отражения от эллипса пройдет через другой фокус 
.
