double arrow

Пример 5.3

Дана система, характеристическое уравнение которой имеет вид :

T1 T1T2T3p3 + (T1T2 + T1T3 + T2T3)p2 + (T1 + T2 + T3)p + 1 + k = 0 .

Выяснить, будет ли система устойчивой, если T1 = 1, T2 = 2, T3 = 3, k = 19 ? Каким должен быть коэффициент усиления на границе устойчивости?

Записываем характеристическое уравнение 3-й степени в общем виде, сопоставляем его с заданным и заключаем:

a0= T1T2T3 , a2= T1+T2+T3 ,

a1= T1T2+T1T3+T2T3 , a3=1+k .

Все коэффициенты больше нуля, но надо проверить, будет ли определитель Гурвица больше нуля. Подставив числа в неравенство a1a2- a0a3> 0, обнаруживаем, что оно не выполняется: 66 - 120 < 0. Определитель оказался отрицательным. Следовательно, система неустойчива.

На границе устойчивости a1a2- a0a3= 0. Подставляя числа, имеем: 11·6 = 6 (1 + k). Коэффициент усиления на границе устойчивости k = 10.

 
Пример 5.4.

Выяснить, будет ли устойчивой система с характеристическим уравнением

5p4 + p + 2 = 0 .

Сопоставив данное уравнение с его общим видом, получаем:

a0 = 5, a1 = a2 = 0, a3 = 1, a4 = 2.

По условию устойчивости a1a2a3a12a4a0a32 > 0. Это не выполняется:

-5∙12 < 0. Система неустойчива, хотя все коэффициенты положительные.

 
Пример 5.5.

Звенья, передаточные функции которых

и ,

соединяются последовательно. Выяснить, будет ли такая система устойчивой? Какую величину имеет постоянная времени T0 на границе устойчивости замкнутой системы?

Находим передаточную функцию разомкнутой системы

.

Ее знаменатель, приравненный к нулю, есть характеристическое уравнение. После сокращения на T0 характеристическое уравнение выглядит так:

T12p3 + T2p2 + p = 0 .

Сопоставляя с записью характеристического уравнения в общем виде, делаем вывод:

a0 = T12, a1 = T2, a2 = 1, a3 = 0.

Для уравнения 3-й степени условия устойчивости требуют, чтобы

a0, a1, a2, a3 > 0 , a1a2 - a0a3 > 0 .

Это соблюдается: T12 , T2 , 1 > 0 , T2 – 0 ∙ T12 > 0 . Следовательно, разомкнутая система устойчива.

Составим характеристическое уравнение замкнутой системы. Это будет сумма полиномов числителя и знаменателя, приравненная к нулю:

T0 T12p3 + T0T2p2 + T0(k1k2 + 1)p + k1k2 = 0.

Выписываем коэффициенты:

a0 = T0T12, a1 = T0 T2 , a2 = T0(k1k2 + 1) , a3 = k1k2 .

Выясняем устойчивость:

T0T12, T0T2 , T0(k1k2 + 1) , k1k2 > 0 .

Замкнутая система будет устойчивой, если

T0T2 (k1k2 + 1) - k1k2 T12 > 0 .

На границе устойчивости определитель равен нулю, из чего заключаем:

.


Сейчас читают про: