double arrow

Критерий Михайлова

Устойчивость системы выясняется по характеристическому полиному передаточной функции:

D (p) = a0pn + a1pn-1 + …+ an-1p + an , (2.5)

где n – степень полинома.

Полагая p = jw , преобразуем характеристический полином в комплексный частотный полином:

D (jω) = a0(jω)n + a1(jω)n-1 +…+ an-1(jω) + an .

В зависимости от степени числа (jω)n оно либо действительное, либо мнимое. По этой причине частотный полином распадается на действительную часть U(ω) и мнимую часть V(ω):

D() = U(ω) + j V(ω) , (5.7)

U(ω) = an - an-2ω2 + an-4ω4 -(5.8)

V(ω) = an-1ω - an-3ω3+an-5ω5 -…. (5.9)

U(ω) – четная функция ω, V(ω) – нечетная функция ω. По этому признаку полиномы (5.8) и (5.9) можно назвать «четный» и «нечетный».

Задавая какое-либо значение частоты w1 , из (5.8) и (5.9) получим числа U(w1) и V(w1) . Вместе они образуют комплексное число D(jw1) . На комплексной плоскости оно обозначается точкой М(U,V) , рис. 5.1. Множество точек М(U,V) , отвечающих разным частотам, образуют кривую, которая называется годографом Михайлова.

Рассмотрим годографы Михайлова для устойчивых систем.

В случае устойчивых систем годограф Михайлова имеет свойство начинаться с точки U(0) = an , V(0) = 0 , рис. 5.1. По мере увеличения w от нуля до бесконечности, точка М(U,V) перемещается влево так, что кривая стремится охватить начало координат, одновременно удаляясь от него. Если провести радиус-вектор из начала координат в точку М(U,V) , то окажется, что радиус-вектор будет поворачиваться против часовой стрелки, непрерывно увеличиваясь. Непрерывно увеличивается и угол, который он образует с осью абсцисс. Представив комплексное выражение (5.7) в экспоненциальной форме,

,

обнаруживаем, что радиус-вектор есть модуль комплексного частотного полинома |D(jw)| , а угол j(w) – аргумент. Модуль имеет величину , аргумент равен .

Вид годографа Михайлова зависит от степени n характеристического полинома (2.5) . Годографы полиномов первых четырех степеней показаны на рис. 5.2. Они соответствуют устойчивым системам. Анализ годографов устойчивых систем позволяет сделать выводы, которые и составляют содержание критерия Михайлова.

Можно дать три формулировки критерию Михайлова.

Первая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности годограф Михайлова начинается на действительной оси в точке an,последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не проходя через ноль, и уходит в бесконечность в n-м квадранте, - система устойчива.

V(w) V

n = 2

n = 1

n = 3

V M(U,V)

       
   
 
j
 



n = 4

Рис.5.1. Рис. 5.2.

Вторая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности вектор комплексного частотного полинома D(jw) последовательно поворачивается против часовой стрелки на угол n(p/2), где n – степень характеристического полинома, и нигде не становится нулем, - система устойчива.

Обратим внимание на частоты, при которых годограф пересекает оси координат. Назовем их «частоты пересечения». Первая частота нулевая, с нее начинается годограф. При w1 = 0 U(0) = an , V(0) = 0 . Вторая отвечает точке пересечения годографом положительного отрезка оси ординат, U(w2) = 0 , V(w2) – некоторое число. Непрерывно увеличивая частоту, при некоторой, равной w3, получим пересечение годографа с отрицательной частью оси абсцисс. Очевидно, четвертым будет пересечение с отрицательной частью оси ординат при частоте w4. Далее последуют частоты пересечения w5, w6, …,wn. Все они действительные положительные числа, каждое последующее больше предыдущего.

Третья формулировка критерия Михайлова: если частоты пересечения годографа с осями координат чередуются и образуют возрастающую последовательность вида ω1 < ω2 < ω3 <…<wn, - система устойчивая.

В отличие от предыдущих, третья формулировка позволяет исследовать устойчивость системы без построения годографа, аналитически. Соображения следующие.

Каждому пересечению годографом действительной оси (когда V(w) = 0) будет соответствовать корень нечетного полинома V(w). Каждому пересечению мнимой оси (когда U(w) = 0) будет соответствовать корень четного полинома U(w). Следовательно, по мере увеличения w корни полиномов V(w) и U(w) для устойчивой системы должны чередоваться (корень полинома V(w) сменяется корнем полинома U(w) и т.д.); корень каждого последующего пересечения оси должен быть больше предыдущего, все корни должны быть действительными. Общее число корней равно степени характеристического полинома.

В случае неустойчивых систем кривые не охватывают начало координат, чередования частот нечетного и четного полиномов нет, рис. 5.3.

V

V

n = 3 n = 4

n = 4 n = 3

U
U
0 0

n = 1

 
 
n = 2


Рис. 5.3. Рис. 5.4.

Если годограф начинается из начала координат или проходит через начало координат, система находится на границе устойчивости, рис. 5.4.

 
Пример 5.6.

Построить годограф Михайлова для характеристического уравнения

2 p + 1 = 0.

Имеем: D(jw) =1 + j2w, U(w) = 1, V(w) = 2w, |D(jw)| = , tg j = 2w . Полагая V(w) = 0, получаем начало годографа: |D(jw)| = 1. В пределах 0 £ w £¥ угол меняется от j = 0 до j = p/2, т.е. вектор D(jw) поворачивается против часовой стрелки один раз на p/2. При этом, V(w) растет, а U(w) остается равным 1. Годограф получается в виде прямой, параллельной мнимой оси, рис. 5.5.

Рис. 5.5. n = 1 . Рис. 5.6. n = 2 .

 
Пример 5.7.

Выяснить устойчивость системы с характеристическим уравнением второй степени

9p2 + 4 p + 2 = 0 .

Комплексный частотный полином, его действительное и мнимое слагаемые имеют вид:

D(jw) = - 9 w2 + j4w + 2,

U(w) = 2 – 9 w2,

V(w) = 4 w .

Полагая V(w) = 0, находим: первая частота пересечения w1 = 0. Годограф начинается в точке U(w1) = 2. Пересечение годографа с мнимой осью задается уравнением U(w) = 0. Находим: вторая частота пересечения w2 = ~0,47. Ордината пересечения V(w2) ~ 1,9. Во втором квадранте, с увеличением частоты, годограф уходит в бесконечность. График показан на рис. 5.6.

Годограф проходит первый квадрант и уходит в бесконечность во втором. Вектор D(jw) поворачивается на угол, равный степени характеристического уравнения, умноженной на p/2: Корни действительные, w1 < w2 и требование последовательного возрастания частот пересечения выполняется. Следовательно, система устойчива.

 
 
 



Сейчас читают про: