Векторы. Координаты векторов и линейные операции над векторами. Ранг матриц. Теорема о базисном миноре

Ранг матриц. Теорема о базисном миноре

Обратимость матриц. Вычисление обратной матрицы

Определение 6. Говорят, что квадратная матрица обратима, если существует квадратная матрица (той же размерности) такая, что При этом матрица называется обратной к матрице и обозначается

Нетрудно показать, что если матрица обратима, то она имеет единственную обратную матрицу

Теорема 1. Для того чтобы матрица была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был не равен нулю (в этом случае матрицаназывается невырожденной или неособой матрицей). При этом её обратная матрица имеет вид

где алгебраическое дополнение элемента матрицы

Например,

(эту формулу полезно запомнить),

Сначала введем понятие линейной зависимости и независимость строк (столбцов) матрицы.

Определение 6. Строки называются линейно зависимыми, если существуют числа не равные нулю одновременно, такие, что имеет место равенство

Если же равенство (2) (где числа) имеет место тогда и только тогда, когда все числа одновременно равны нулю (), то строки называются линейно независимыми. Аналогичные понятия вводятся и для столбцов.

Например, строки линейно зависимы, так как

(здесь), а столбцы линейно независимы, так как

Введем теперь следующее важное понятие.

Определение 7. Рангом произвольной матрицы (размера) называется максимальное число линейно независимых столбцов этой матрицы. Обозначение:

Например, ранг матрицы равен 1, так как только один столбец этой матрицы (любой) линейно независим, а два столбца линейно зависимы.

Пусть дана произвольная матрица. Будем последовательно рассматривать в ней миноры первого, второго, третьего и т.д. порядков.

Определение 8. Базисным минором матрицы называется такой отличный от нуля минор го порядка, что все миноры матрицы порядка выше го равны нулю.

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен порядку базисного минора этой матрицы.

Отсюда, в частности, следует, что при транспонировании матрицы ее ранг не изменяется, поэтому ранг матрицы равен также максимальному числу ее линейно независимых строк.

[1] Полезно запомнить, что в первый индекс номер строка, а номер столбца, на пересечении которых находится элемент

Множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве обозначают буквой а множество всех векторов на плоскости – буквой Ниже все понятия и утверждения формулируютя для пространства Ясно, что они очевидном образом переносятся и на пространство Перейдем к изложению основных понятий.

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой причем два вектора считаются р̀авными, если один из них получен из другого параллельным переносом(см. Р1). Длина направленного отрезка называется длиной вектора. Векторы и лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными; если при этом их направления совпадают, то пишут а если они имеют противоположные направления, то пишут Таким образом, Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым (обозначение:). Считают, что нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору и имеет произвольное направление.

Заметим, что векторы обозначаются также малыми латинскими буквами:

Напомним, что осью (в пространстве или на плоскости) называется прямая с выбранной на ней (положительным) направлением и масштабом (единицей измерения). Обозначение: При этом каждой точке оси соответствует единственное действительное число, и обратно: каждому действительному числу числу соответствует единственная точка на числовой оси. Единичный вектор лежащий на оси и направленный так же, как ось, называется ортом оси

Пусть произвольная точка в пространстве (или на плоскости). Проведем через плоскость Тогда точка называется проекцией точки на ось (обозначение:).

Определение 2. Если вектор, то вектор где называется геометрической проекцией вектора на ось (см.Р2) а число

называется просто проекцией вектора на ось и обозначается (обратите внимание на различие в написаниях и).

В пространстве рассмотрим декартовую систему координат, определяемую осями с ортами соответственно.

Определение 3. Числа называются координатами вектора в декартовой системе координат. Обозначение:

Если начало вектора а конец вектора то =

Орты осей декартовой системы координат имеют следующие координаты:

Определим теперь линейные операции над геометрическими векторами. Выпустим векторы и из общего начала и построим параллелограмм со сторонами и. Пусть диагональ этого параллелограмма.

1. Суммой двух векторов и называется вектор совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного указанным образом на векторах и (см.Р3).

2. Разностью векторов и называется такой вектор что Обозначение:

Если векторы и имеют общее начало,то вектор будет совпадать с вектором, выпущенным из конца вектора в конец вектора (см.Р4).

3. Произведением вектора на число называется вектор имеющий длину и направленный так же, как и если и противоположно вектору если

Обозначение: Если же то

Введенные операции над векторами (их называют линейными операциями) обладают свойствами аналогичных операций для чисел (свойстваасоциативности, коммутативности, дистрибутивности и т.д.), которые используются при вычислениях. Например,

Из определения коллинеарных векторов вытекает, что

векторы и коллинеарны тогда и толко тогда, когда существует число такое, что

Теперь ясно, что по векторам и можно построить любую их линейную комбинацию

Используя геометрические соображения, легко доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Любой вектор может быть разложен в линейную комбинациюортов причем это разложение единственно, а числа являются

координатами вектора в выбранной декартовой системе координат

Замечание 1. Ниже будет дано определение базиса в и будет показано что орты образуют базис в Кроме того, будет показано, что в существует бесконечное множество базисов. Базис обычноназывают стандартным базисом в.

Теорема 1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами пространства и упорядочными тройками чисел Именно: каждому вектору

соответствует единственная упорядочная тройка чисел где координаты вектора в базисе и наоборот: каждой упорядочной тройке чисел соответствует единственный вектор Поэтому часто оттождествляют векторы и их координаты и пишут При этом вместо того, чтобы совершать геометрически линейные операции над векторами совершают их аналитически, в координатной форме. Это оправдывается следующим утверждением.

Теорема 2. Пусть векторы и заданы своими координатами: Тогда их линейная комбинация в координатной форме имеет вид

Доказательство. Имеем

поэтому

Теорема доказана.

Используя теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда, легко доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Если вектор задан своими координатами в базисе, то его длина вычисляется по формуле

Определение 4. Углом между векторами и называется угол, на который нужно повернуть первый вектор до совпадения со вторым вектором против часовой стрелки. Обозначение:

Проекция вектора на вектор определяется так же, как и проекция вектора на ось.

Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле

Числа называются направляющими косинусами вектора Так как и

то поэтому имеет место следующее соотношение между направляющими косинусами вектора: Значит, вектор

= является ортом вектора

Из вытекает следующее утверждение.

Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: