Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре




Определение. Минором порядка k матрицы A называется определитель матрицы k-го порядка, элементы которой стоят на пересечении выбранных k – строк и k – столбцов, т.е..

Определение. Минор порядка r матрицы A называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю (если они существуют).

Определение. Рангом матрицы А называется порядок её базисного минора, т.е.. ранг матрицы A равен r, если в матрице существует ненулевой минор r-го порядка, а все миноры более высокого порядка равны нулю (если они существуют). Обозначается Rg A.

Определение. Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Теорема о базисном миноре. Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через базисные столбцы.

Доказательство. Amxn = || aij ||mxn Пусть k – порядок базисного минора. Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу.

1) Если базисные столбцы линейно зависимы, то столбцы базисного минора так же линейно зависимы => хотя бы один из столбцов линейно выражается через остальные, т.е.. является их линейной комбинацией => Δ = 0, что противоречит условию => базисные столбцы линейно независимы.

2) Зафиксируем произвольный столбец матрицы А, например . Покажем, что линейно выражается через базисные столбы. Построим определитель

(1≤ l ≤n) (1≤ i ≤m)

Если i < k или l < k, то

Рассмотрим случай i > k, l > k Тогда как минор k+1– го порядка в матрице А. Обозначим А1, …, Аk, Ak+1 алгебраические дополнения к последней строке Эти величины не зависят от элементов i-ой строки. Кроме того Ak+1 = Δ ≠ 0. Разложим минор по последней строке. ai1 A1+…+ aik Ak + ail Δ = 0

l = 1, …, n ч.т.д.

Следствие 1. Пусть Аmxn Если Rg A < n, то столбцы матрицы линейно зависимы.

Доказательство. Пусть Rg A = k < n, значит в матрице существует базисный минор порядка k. Не ограничиваясь общности будем считать, что a1, …, ak базисные. Т.к.. k < n, то ∃ ak+1. По теореме о базисном миноре столбец ak+1 выражается через базисные, т.е.. a1, …, ak, ak+1 – линейно зависимы => матрица содержит линейно зависимую подсистему => матрица линейно зависима.

Следствие 2. Пусть А – квадратная матрица. det A = 0 óстолбцы матрицы линейно зависимы.




Доказательство. Если столбцы линейно зависимы, то det A = 0. Пусть det A = 0, тогда Rg A < n, т.е.. число столбцов больше ранга => (из следствия 1) столбцы матрицы линейно зависимы.





Дата добавления: 2015-04-12; просмотров: 8221; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент - человек, постоянно откладывающий неизбежность... 9212 - | 6567 - или читать все...

Читайте также:

 

34.229.194.198 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.002 сек.