2014-02-02
313
Понятие с-мы ДУ. Нормальная форма. Задача Коши для с-мы. Геом-ий смысл реш-я. Линейные с-мы: вид общего реш-я. Метод исключения. Матричное представление систем ДУ
Сущ-ют процессы, где одной ф-и недостаточно для описания процесса. Далее 
- независимая переменная; 
(или 
если ф-й не больше трех) - неизвестные ф-ии.
Определение. С-ой ДУ наз-ют совокупность ур-й, в каждое из которых входят незав-е переменные, искомые ф-и и их производные.
Примеры. 1) 
2) 
Реш-ем с-мы ДУ наз-ют совокупность ф-й 
которая при подстановке в ур-я превращает их в тождества.
Определение. Норм-й с-й ДУ наз-ся с-ма ур-й вида 
Многие с-мы ДУ можно привести к норм-й с-ме.
Пример. 
Некоторые с-мы ДУ нельзя привести к нормальной системе. Их рассматривать не будем.
Пример. 
С-ма ДУ, содержащая производные высших порядков, может быть приведена к нормальной системе.
Пример. 
Введем дополн-ые ф-и 
Тогда 
Одно ДУ 
- го порядка может быть сведено к нормальной системе ДУ.
Пример. 
Норм-я с-ма ДУ, обычно, может быть заменена одним ДУ, порядок которого = числу ур-й с-мы.
|
|
|
Пример 
Обратный случай, когда с-ма ДУ не может быть сведена к одному ДУ.
Пример 
Первое ур-е не зависит от остальных. 
Теорема. Общее реш-е нормальной с-мы ДУ 
имеет вид 
где 
- произвольные постоянные.
могут входить не во все ур-я.
Задание нач-х усл-й 
дает частное реш-е с-мы ДУ 
Теорема. Если правые части нормальной с-мы ДУ непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности значений 
то в достаточно малом интервале 
сущ-ет единств-я с-ма ф-ий 
являющаяся реш-м с-мы и удовлетворяющая нач-м усл-м.
Однородная с-ма линейных ДУ
где 
- непрерывные ф-ии.
1) Если известно частное реш-е с-мы линейных ДУ 
то 
тоже является реш-м с-мы, где 
- произвольная постоянная.
2) Если известны два частных реш-я с-мы линейных ДУ 
и 
то 
тоже явл-ся реш-ем с-мы.
3) Если известны частных реш-й с-мы 
…; 
то 
(*)
тоже является реш-ем с-мы линейных ДУ.
Совокупность реш-й образует фундаментальную с-му реш-й. Реш-е (*) явл-ся общим реш-ем однородной с-мы линейных ДУ.
Общее реш-е неоднородной с-мы линейных ДУ 
есть сумма общего реш-я однородной с-мы и частного реш-я неоднородной с-мы.
При заданных нач-х усл-х 
можно получить частное реш-е с-мы линейных ДУ. Для этого необходимо подставить нач-е усл-я в общее реш-е с-мы (*). Получим алгебраическую с-му ур-й 
Решая с-му, получим частное реш-е с-мы линейных ДУ. Для того, чтобы с-ма алгебраических ур-й имела единственное реш-е, необходимо, чтобы определитель 
