С-мы линейных ДУ

Понятие с-мы ДУ. Нормальная форма. Задача Коши для с-мы. Геом-ий смысл реш-я. Линейные с-мы: вид общего реш-я. Метод исключения. Матричное представление систем ДУ

Сущ-ют процессы, где одной ф-и недостаточно для описания процесса. Далее - независимая переменная; (или если ф-й не больше трех) - неизвестные ф-ии.

Определение. С-ой ДУ наз-ют совокупность ур-й, в каждое из которых входят незав-е переменные, искомые ф-и и их производные.

Примеры. 1) 2)

Реш-ем с-мы ДУ наз-ют совокупность ф-й которая при подстановке в ур-я превращает их в тождества.

Определение. Норм-й с-й ДУ наз-ся с-ма ур-й вида

Многие с-мы ДУ можно привести к норм-й с-ме.

Пример.

Некоторые с-мы ДУ нельзя привести к нормальной системе. Их рассматривать не будем.

Пример.

С-ма ДУ, содержащая производные высших порядков, может быть приведена к нормальной системе.

Пример. Введем дополн-ые ф-и Тогда

Одно ДУ - го порядка может быть сведено к нормальной системе ДУ.

Пример.

Норм-я с-ма ДУ, обычно, может быть заменена одним ДУ, порядок которого = числу ур-й с-мы.

Пример

Обратный случай, когда с-ма ДУ не может быть сведена к одному ДУ.

Пример Первое ур-е не зависит от остальных.

Теорема. Общее реш-е нормальной с-мы ДУ имеет вид где - произвольные постоянные.

могут входить не во все ур-я.

Задание нач-х усл-й дает частное реш-е с-мы ДУ

Теорема. Если правые части нормальной с-мы ДУ непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности значений то в достаточно малом интервале сущ-ет единств-я с-ма ф-ий являющаяся реш-м с-мы и удовлетворяющая нач-м усл-м.

Однородная с-ма линейных ДУ

где - непрерывные ф-ии.

1) Если известно частное реш-е с-мы линейных ДУ то тоже является реш-м с-мы, где - произвольная постоянная.

2) Если известны два частных реш-я с-мы линейных ДУ и то тоже явл-ся реш-ем с-мы.

3) Если известны частных реш-й с-мы …; то (*)

тоже является реш-ем с-мы линейных ДУ.

Совокупность реш-й образует фундаментальную с-му реш-й. Реш-е (*) явл-ся общим реш-ем однородной с-мы линейных ДУ.

Общее реш-е неоднородной с-мы линейных ДУ

есть сумма общего реш-я однородной с-мы и частного реш-я неоднородной с-мы.

При заданных нач-х усл-х можно получить частное реш-е с-мы линейных ДУ. Для этого необходимо подставить нач-е усл-я в общее реш-е с-мы (*). Получим алгебраическую с-му ур-й