2014-02-02
315
Рассмотрим однородную с-му линейных ДУ 
С-му можно свести к одному ДУ 
- го порядка. Будем искать частные реш-я в виде 
где 
- неопределенные постоянные. Дифференцируя, получим 
Отсюда 
Чтобы с-ма однородных ур-й имела ненулевое реш-е, необходимо и достаточно, определитель с-мы равнялся 0 
Раскрыв определитель, получим характеристическое ур-е.
Предположим, что корни действительные и простые. Рассмотрим реш-е на примере с-мы трех ур-й. Пусть корень равен 
Определитель системы равен 0. Примем, что если - простой корень, то, по крайней мере, один из миноров 2-го порядка не равен 0. Тогда одно из ур-й следует из остальных. Реш-е с-мы зависит от одной произвольной постоянной.
Пусть первые два ур-я линейно независимы. Тогда одно из реш-й будет
Все остальные реш-я получаются умножением чисел 
на одну и ту же произвольную постоянную.
Поступая так со всеми корнями характеристического ур-я, найдем три с-мы ф-й, каждая из которых явл-ся реш-ем с-мы линейных ДУ
Общее реш-е с-мы линейных ДУимеет вид 
