Случай кратных корней характерист-го ур-я

Для кратных корней реш-е усложняется. Если для одного ур-я можно сразу написать структуру общего реш-я, то здесь иначе. Покажем на примерах.

Пример 1.

Для кратного корня с-ма ур-й сводится к одному ур-ю Произвольно можно задать две величины Тогда т.е.

Получили фундаментальную с-му реш-й, т.к.

Общее реш-е

Пример 2.

Третье реш-е таким способом получить не удастся. Будем искать реш-е в виде

где определяются методом неопределенных коэф-в. Продифференцируем и подставим в с-му ДУ. После сокращения на получим

Приравнивая коэф-ты при степенях получим

Полагая имеем Итак

Реш-е с индексом 2 получается, если Если положить получим третье реш-е

Три реш-я образуют фундаментальную с-му реш-й.

Правило. Если характеристическое ур-е с-мы ДУ имеет корень кратности , то ему отвечает реш-е, зависящее от произвольных постоянных

где - многочлены степени не выше