2014-02-02
613
Рассмотрим ряд 
такой, что 
Лемма. Если частичные суммы ряда с полож-ми членами ограничены сверху 
то ряд сходится.
Док-во. 
т.к. 
Если послед-ть монотонно возрастает и ограничена сверху, то по признаку сходимости Вейерштрасса она имеет предел 
Если ряд сходится, то 
Если ряд с полож-ми членами расходится, то 
Признак сравнения. Пусть даны два ряда с полож-ми членами 
(1), 
(2) 
и 
(*)
Тогда:
1) если сходится ряд (2), то сходится ряд(1);
2) если расходится ряд (1), то расходится ряд(2).
Док-во. 1) 
В силу леммы ряд (1) сходится.
2) 
Признак справедлив, если усл-е (*) выполняется с какого-либо номера 
в силу 3-го св-ва сходящихся рядов.
Пример 
Сравним с расходящимся рядом 
. 
исходный ряд расходится.
Предельный признак сравнения. Если 
то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
Док-во. 
или 
Пусть ряд (2) сходится. Тогда по свойству 1 сходящихся рядов сходится ряд 
и т.к. 
следовательно ряд (1) сходится. Если ряд (2) расходится, то в силу 
ряд (1) расходится.
Пример. 
Сравним с расходящимся рядом 
Исходный ряд расходится.
