Рассмотрим ряд такой, что
Лемма. Если частичные суммы ряда с полож-ми членами ограничены сверху то ряд сходится.
Док-во. т.к. Если послед-ть монотонно возрастает и ограничена сверху, то по признаку сходимости Вейерштрасса она имеет предел
Если ряд сходится, то
Если ряд с полож-ми членами расходится, то
Признак сравнения. Пусть даны два ряда с полож-ми членами (1), (2) и (*)
Тогда:
1) если сходится ряд (2), то сходится ряд(1);
2) если расходится ряд (1), то расходится ряд(2).
Док-во. 1) В силу леммы ряд (1) сходится.
2)
Признак справедлив, если усл-е (*) выполняется с какого-либо номера в силу 3-го св-ва сходящихся рядов.
Пример Сравним с расходящимся рядом . исходный ряд расходится.
Предельный признак сравнения. Если то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
Док-во. или Пусть ряд (2) сходится. Тогда по свойству 1 сходящихся рядов сходится ряд и т.к. следовательно ряд (1) сходится. Если ряд (2) расходится, то в силу ряд (1) расходится.
Пример. Сравним с расходящимся рядом Исходный ряд расходится.
|
|