Волновое уравнение

Любое нарушение стационарности состояния упругой сплошной твердой, жидкой или газообразной среды в какой-либо точке пространства приводит к появлению возмущений (волн), распространяющихся от этой точки.

В твердой среде могут существовать продольные волны, в которых частицы колеблются вдоль распространения волны, и волны поперечные, колебания частиц в которых происходят в направлениях, перпендикулярных к распространению волны.

В данном разделе рассматриваются волны в газах и жидкостях, в которых могут распространяться (при отсутствии свободной поверхности или поверхности раздела двух жидкостей) только продольные волны (рисунок 1).

Рисунок 1

Особенности звуковых волн заключаются в том, что частицы в них колеблются относительно некоторого положения равновесия и скорость распространения волны (скорость звука или скорость, с которой перемещается максимум давления) значительно больше скорости колебания частиц (колебательной скорости) относительно положения равновесия.

Рассмотрим физическую интерпретацию волнового уравнения. Для этого рассмотрим трубку с единичным поперечным сечением, наполненную средой с плотностью . Выделим внутри трубки объем, ограниченный двумя плоскостями, расположенными на расстоянии друг от друга (рисунок 2). Сила, действующая на выделенный элемент в направлении оси , равна разности полных давлений, действующих на противоположные стороны элемента, то есть

(1)

Рисунок 2

Если смещение левой грани элемента равно , а правой , то относительная деформация элемента составляет . Сила инерции элемента равна . Приравнивая последнее выражение правой части (1), получим:

(2)

Продифференцируем (2.2) по координате и воспользуемся законом Гука (давление пропорционально степени сжатия) , где – сжимаемость среды (обратная величина модуля упругости ). Учитывая, что , где – мгновенное значение отклонения давления в звуковой волне от равновесного его значения , получим

Мы получили волновое уравнение для одномерного случая. Первый член волнового уравнения обусловлен сжатием элемента среды, а второй – инерцией. В трехмерном случае звуковое давление в жидкости удовлетворяет следующему волновому уравнению:

, (3)

где – оператор Лапласа, – скорость звука в среде. Связь между вектором колебательной скорости и звуковым давлением в среде определяется уравнением Эйлера

, (4)

где .

Можно считать, что градиент температуры в волне, обусловленный сжатием среды, в диапазоне частот звуковых волн, встречающихся в практике борьбы с шумом, так мал, что явления теплообмена между соседними частицами не имеют места, и колебательный процесс является адиабатическим. Тогда скорость звука

,

где — показатель адиабаты (для воздуха ); —теплоемкость воздуха при постоянном давлении; — теплоемкость при постоянном объеме; — плотность покоящейся среды.

Изменение давления и изменение плотности, отсчитанные от равновесных значений и (, в звуковой волне связаны соотношением .

Звуковое поле является векторным полем, поскольку движение каждой частицы описывается вектором колебательной скорости c компонентами . В идеальной жидкости при отсутствии вязкости равнодействующая сил, действующих на элемент среды, проходит через его центр и вращательный момент равен , то есть выполняется условие . В этом случае звуковое поле является незавихренным и его можно охарактеризовать исчерпывающим образом одной скалярной функцией — потенциалом скорости По известному потенциалу скорости можно определить звуковое давление и колебательную скорость. Колебательная скорость равна

(5)

а, воспользовавшись уравнением Эйлера (2.4), получим:

(6)

Наряду с волновым уравнением (3) в акустике для описания волновых процессов широко используется уравнение Гельмгольца, которое получается при подстановке в уравнение (3) звукового давления в комплексном виде , где – амплитуда колебания, – угловая частота:

(7)

В уравнении Гельмгольца (7) физический смысл имеет лишь вещественная часть давления.