Непрерывность функции

1 2 3 4 5 6

Лекция № 5

ДОКУМЕНТАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УПРАВЛЕНИЯ

КОЛЬВА Николай Алексеевич

курс лекций

учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей

учебных заведений среднего профессионального образования

Литературный редактор – А.Н.Вылобков

Технический редактор – Н.А.Кольва

Издано в авторской редакции

Подписано в печать 2010-10-28

Бумага офисная. Гарнитура Arial Narrow

Усл.печ.л.15,25. Уч.-изд.л.14,18. Тираж 50 экз. Заказ № 691

_________________________________________________________________________

Отпечатано оперативными полиграфическими средствами учебного заведения

ФГОУ СПО «Донской государственный межрегиональный колледж

строительства, экономики и предпринимательства»

346400, г. Новочеркасск, Ростовской обл., пр. Платовский, д. 94, методкабинет, офис 24

Определение.

Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если

(1)

Таким образом функция непрерывна в точке , если выполняются следующие условия:

а) функция определена в некоторой окрестности точки , то есть:

б) существует ;

в) .

Определение непрерывности функции в точке , выраженное в условии (1), можно сформулировать с помощью неравенств (на языке окрестностей и в терминах последовательностей в виде:

;

Подчеркнем, что в определении непрерывности в отличие от определения предела рассматривается полная, а не проколотая окрестность точки и пределом функции является значение этой функции в точке .

Назовем разность приращением аргумента и обозначим , а разность – приращением функции, соответствующей данному приращению аргумента и обозначим его

При этих обозначения (1) примет вид

Таким образом непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Точки разрыва и их классификация

Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки . Точку назовем точкой разрыва функции, если эта функция либо не определена в точке , либо определена, но не является непрерывной в точке .

Следовательно, точка – точка разрыва функции, если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

а) ;

б) Существует конечный предел ;

в) .

Если – точка разрыва функции, причем в этой точке существует конечный предел слева и справа, то есть

или

то точка называется точкой разрыва первого рода.

Пусть точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода. Тогда ее называют точкой разрыва функции второго рода. В такой точке хотя бы один из односторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.