double arrow

В случае известного решения д.у

Метод Лагранжа нахождения решения д.у.

Теорема.

yoн = yoo + yчн.

Доказательство.Пусть yчн : Ln [yчн]= f.

а) пусть y* : Ln [y*]= 0. Рассмотрим y1 = y* + yчн,

Þ

Ln [y1]= Ln [y* + yчн]= Ln [y*] + Ln [yчн]= 0 + f = f;

б) пусть y1 : Ln [y1]= f. Представим его виде

y1 = (y1 yчн) + yчн

и покажем, что функция (y1 yчн) Îyoo:

Ln [y1 yчн]= Ln [y1] – Ln [yчн]= ff = 0.

Замечание. Принцип суперпозиции.

Еслиf(x) = f1(x) + f2(x), то частное решение д. у.

Ln [y]= f можно искать в виде

yчн = yчн,1 + yчн,2 ,

где Ln [yчн,1]= f1, Ln [yчн,2]= f2.

Ln[y]= f

Ln[y]= 0

(метод вариации произвольных постоянных).

Теорема.Если

yoo = С1y1 + С2y2 + … + Сnyn,

то yчн может быть найдено в виде

yчн= С1(x) y1 + С2(x) y2 + … + Сn(x) yn, (*)

где С1(x), С2(x), …, Сn(x) – непрерывно дифференцируемые функции, подлежащие определению.

n = 2: yoo = С1y1 + С2y2

yчн = С1(x) y1 + С2(x) y2 (*)

Доказательство(n = 2).

Подставим (*) в уравнение L2[y]= f , т.е.

y¢¢+ p1(x) y¢ + p2(x) y = 0,

принимая меры для того, чтобы С1(x), С2(x), …, Сn(x) входили в него с производными не выше 1-го порядка:

y¢ = С1¢ y1 + С1 y1¢ + С2¢ y2+ С2y2¢ =

= С1 y1¢ + С2y2¢

(если положить С1¢ y1 + С2¢ y2= 0),

y¢¢ = С1¢ y1¢ + С1 y1¢¢ + С2¢ y2¢+ С2y2¢¢

L2[y]= С1¢ y1¢+ С2¢ y2¢+ С1 (y1¢¢+ p1(x) y1¢+p2 (x) y1) +

+ С2(y2¢¢ + p1(x) y2¢+ p2 (x) y2 ) = f(x).

Но L2 [y1]= 0, L2 [y2]= 0 Þ

L2 [y]= С1¢ y1¢ + С2¢ y2¢ = f(x).

Þ система двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными С1¢, С2¢:


Сейчас читают про: