double arrow

Основной определитель

– вронскиан W2(x) ¹ 0,т.к. y1, y2линейно независимы.

Система имеет единственное решение С1¢(x), С2¢(x).

При любом n:

Система имеет единственное решение С1¢(x), С2¢(x), …, Сn¢(x).

Интегрируем и подставляем в (*). Ищем частное решение Þ первообразные берем по одной.

Замечание. Если брать все первообразные (с учётом всех произвольных постоянных), то при подстановке в (*) получим не частное, а общее решение уравнения Ln[y]= f.

Пример.

(x ¹ 1).

yoн = yoo + yчн.

Соответствующее линейное однородное уравнение:

yoo = С1y1 + С2y2,

y1, y2 – линейно независимые решения, С1, С2 – произвольные постоянные.

Легко проверить: y1(x) = x и y2(x) = ex – линейно независимые решения.

yoo = С1x + С2ex.

Метод вариации: y = С1(x) x + С2(x) ex,

С1¢ = –1, С2¢ = xex; С1(x) = – x, С2(x) = – xexex.

yчн = (– x ) x + (– xexex) ex = – (x2 + x +1),

yон = С1x + С2ex – (x2 + x +1).

Замечание. Если С1(x) = – x + C1, С2(x) = – xexex + C2,

то

y = (– x + C1) x + (– xexex + C2) ex =

= С1x + С2ex – (x2 + x +1) = yон


Сейчас читают про: