double arrow

Доказательство.. где хотя бы одно из чисел a1, a2, , ak ¹ 0

1.Пусть y1, y2, yk линейно зависимы. Тогда $ линейная комбинация, тождественно равная нулю:

a1y1 + a2y2 + … + akyk º 0,

где хотя бы одно из чисел a1, a2, …, ak ¹ 0.

Дифференцируя (n –1) раз, получим систему

Т. е.

Þ Столбцы начальных условий (как векторы) линейно зависимы (" точки x0).

2.Пусть линейно зависимы столбцы начальных условий задач Коши для y1, y2, yk:

не все a1, a2, …, ak нулевые.

Составим функцию y = a1y1 + a2y2 + … + akyk, это – решение. Для него условия задачи Коши в т. x0:

.

Такие же условия для решения y º 0.

Из единственности:

a1y1 + a2y2 + … + akyk º 0,

т.е. y1, y2, yk линейно зависимы.

Теорема 3 (о структуре общего решения уравнения Ln[y]=0). Пространство решений уравнения Ln [y]=0 имеет размерность n, т.е.

yoo = С1y1 + С2y2 + … + Сnyn,

где yooобщее решение,y1, y2, ynлинейно независимые частные решения, базис пространства решений (фундаментальная система решений).

Доказательство.Выберем любые n линейно независимых столбцов, поставим в т. x0 n задач Коши, их решения y1, y2, … , yn линейно независимы.

Рассмотрим другое решение yn+1.

Для него столбец начальных условий будет линейной комбинацией ранее выбранных n столбцов (длины n).

По теореме 2 y1, y2, yn, yn+1 линейно зависимы:

yn+1 = С1y1 + С2y2 + … + Сnyn.


Сейчас читают про: