Кинематический анализ плоских систем

Глава 8. Плоские статически неопределимые стержневые системы

Относительные перемещения сечений стержней системы

Допустим, что требуется определить перемещение точки A относительно точки B по направлению линии соединяющей эти точки (рис.7.42).

Рисунок 7.42

Обозначим через δ_A и δ_B перемещения соответственно точек A и B по линии AB, вызванные деформацией системы. Очевидно, что в тех случаях, когда эти точки смещаются в противоположные стороны, их относительное перемещение: δ_AB= δ_A + δ_B, а когда в одну сторону, то: δ_AB= δ_A - δ_B. Очевидно, что если при определении перемещений δ_A и δ_B направить единичные силы в противоположные стороны, тогда автоматически будет определяться сумма δ_A и δ_B в случае смещений точек в разные стороны и разность при перемещении точек в одну сторону. Следовательно, если прикладывать к системе одновременно две единичные силы, направленные в разные стороны по одной линии, тогда интеграл Мора будет сразу давать относительное перемещение.

Например, для плоской системы:

Пример 7.6

Определить относительное смещение δ_AB сечений A и B плоской замкнутой рамы приведенной на рисунке 7.43. Жесткость на изгиб EI_z считать заданной и постоянной на всех участках рамы.

Рисунок 7.43

Решение.

1. Определим усилия в шарнирах, для чего разрежем раму по шарнирам и добавим неизвестные усилия X₁, X₅, X₆, X₁₀ (рис. 7.44).

Рисунок 7.44

Запишем уравнения равновесия:

а) для левой части рамы (рис. 7.44а):

ΣX = -qa + X₁ + X₅ = 0

Σmom₅ = qa×a – X₁×2a = 0

а) для правой части рамы (рис. 7.44б):

ΣX = qa - X₁₀ - X₆ = 0

Σmom₁₀ = qa×a – X₆×2a = 0

Решая уравнения совместно, получим:

X₁ = X5 = X₆ = X₁₀ = qa/2

2. Строим основную эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок (рис.7.45)

Рисунок 7.45

3. Удалим внешнюю нагрузку, а в сечениях A и B приложим единичные усилия в противоположные направления (рис. 7.46).

Рисунок 7.46

4. Определим усилия в шарнирах, для чего разрежем раму по шарнирам и добавим неизвестные усилия X₁, X₅, X₆, X₁₀ (рис. 7.47).

Рисунок 7.47

Запишем уравнения равновесия:

а) для левой части рамы (рис. 7.47а):

ΣX = -1 + X₁ + X₅ = 0

Σmom₅ = 1×a – X₁×2a = 0

а) для правой части рамы (рис. 7.47б):

ΣX = 1 - X₁₀ - X₆ = 0

Σmom₁₀ = 1×a – X₆×2a = 0

Решая уравнения совместно, получим:

X₁ = X5 = X₆ = X₁₀ = 1/2

5. Строим эпюру изгибающих моментов от единичных усилий (рис. 7.48)

Рисунок 7.48

6. Применяя способ Верещагина, перемножаем эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок M на эпюру изгибающих моментов от единичных усилий M’, и в результате получим взаимное смещение сечений A и B относительно друг друга δ_AB:

δ_AB = (1/EI_z)((-1/2)qa²×2a×(-1/4)a) = qa⁴/4EI_z

Статически неопределимыми называются стержневые системы, опорные реакции и внутренние силовые факторы в которых не могут быть найдены при помощи уравнений равновесия и метода сечений. Разность между числом искомых неизвестных усилий (реакций опор и внутренних силовых факторов) и независимых уравнений равновесия определяет степень статической неопределимости системы.

Иногда говорят, что степень статической неопределимости равна числу избыточных (лишних) связей, без которых система не превращается в геометрически изменяемую (подвижную). Положение жесткого бруса на плоскости определяется тремя независимыми координатами (перемещениями в дух направлениях и углом поворота), иначе говоря, брус на плоскости обладает тремя степенями свободы. На брус могут быть наложены связи, т.е. ограничения, обуславливающие его положение на плоскости. Наиболее простыми связями являются такие связи, при которых полностью исключается то или иное обобщенное перемещение для некоторых сечений бруса. То минимальное число связей, при котором достигается кинематическая неизменяемость, является необходимым числом связей. Всякую связь, наложенную сверх необходимых, называют избыточной. Связи в стержневых системах обычно делят на связи внешние и связи внутренние, или взаимные. Под внешними связями понимают условия, накладываемые на абсолютные перемещения некоторых точек системы. Например, на рисунке 8.1а показана плоская рама, имеющая три внешние связи, а на рисунке 8.1б‑пять внешних связей.

Рисунок 8.1

Следовательно, в первом случае рама имеет необходимые внешние связи, а во-втором две избыточные внешние связи, т.е. она дважды внешне статически неопределима.

Под внутренними, или взаимными, связями понимаются ограничения, накладываемые на взаимные смещения сечений рамы. Замкнутый плоский контур имеет три избыточные связи, т.е. ограничен взаимный поворот смежных сечений, и взаимное смещение смежных сечений в двух направлениях. Следовательно, плоская рама в виде замкнутого контура трижды статически неопределима. Таким образом, рама, приведенная на рисунке 8.1а, трижды статически неопределима внутренним образом. Рама, приведенная на рисунке 8.1б, пять раз статически неопределима (три раза внутренним образом и два раза‑внешним).

Степень статической неопределимости можно определить на основании кинематического анализа стержневой системы.

Пусть число элементов системы соединенных между собой шарнирами будет d. Каждые элемент плоской системы обладает тремя степенями свободы, т.е. могут перемещаться поступательно в двух направлениях и вращаться. Следовательно, общее число степеней свободы системы равно 3 d.

Каждый шарнир, соединяющий два смежных элемента ликвидирует две степени свободы, так как предотвращает взаимное смещение в двух направлениях соединенных шарниром элементов, и допускает только их вращательное перемещение. При наличии в системе s шарниров, будет ликвидировано 2 s степеней свободы.

Каждый опорный стержень уменьшает число степеней свободы системы на единицу. Следовательно, если в системе c₀ опорных стержней, то число степеней системы уменьшится на число опорных стержней.

Таким образом, общее число степеней свободы системы равно:

n = 3d – 2s – c₀ (1)

Для закрепленных, не свободных систем в случае если:

а) n > 0, то система геометрически изменяема, т.е. механизм;

б) n = 0, то система геометрически неизменяема и статически определима;

в) n < 0, то система геометрически неизменяема и статически неопределима; n - степень статической неопределимости.

Так как замкнутый плоский контур имеет три избыточные связи то формула (1) преобразовывается к виду:

n = 3d – 2s-3

Рассмотрим несколько примеров определения степени статической неопределимости стержневых и рамных систем приведенных на рисунке 8.2.

Рисунок 8.2

а) Рама имеет четыре избыточные внешние связи. Число внешних степеней свободы: n = 3d – 2s – c₀ = 3×1 - 2×0 - 7= -4

Число внутренних степеней свободы для замкнутого контура рамы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×0 - 2×0 - 3= -3

Таким образом, система семь раз статически неопределима.

б) Шарнир А принадлежит одновременно трем стержням, поэтому его можно рассматривать как два совпавших шарнира. Число внешних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×2 - 2×1 - 5= -1

Это означает, что рама имеет одну избыточную внешнюю связь.

Число внутренних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×1 - 2×1 - 3= -2

Следовательно, замкнутый контур рамы имеют две избыточную внутренние связи.

Таким образом, система три раза статически неопределима. Обобщая полученный результат, можно сделать вывод, что шарнир снимает число связей на единицу меньше числа сходящихся в нем стержней.

в) Шарнир А принадлежит одновременно четырем стержням, поэтому его можно рассматривать как три совпавших шарнира. Число внешних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×3 - 2×2 - 7= -2

Рама имеет две избыточные внешние связи.

Число внутренних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×1 - 2×1 - 3= -2

Замкнутый контур рамы имеют две избыточные внутренние связи.

Таким образом, система четыре раза статически неопределима.

г) Число внешних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×1 - 2×0 - 4= -1

Рама имеет одну избыточную внешнюю связь.

Число внутренних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×1 - 2×1 - 3= -2

Замкнутый контур рамы имеют две избыточные внутренние связи.

Таким образом, система три раза статически неопределима.