Задачи расчетов на прочность и жесткость

Курс лекций

по дисциплине «Прикладные задачи

механики деформированного твердого тела»

Тула 2011

Курс прикладные задачи МДТТ имеет свои цели: применение методов МСС к расчету на прочность и жесткость широко распространенных строительных конструкций.

Основные разделы курса:

1. Задачи и цели прочностных расчетов;

2. Статика и динамика стержней и стержневых систем;

3. Статика и динамика пластин и оболочек;

4. Устойчивость стержней, пластин и оболочек;

5. Плоские задачи теории упругости.

По каждому разделу рассматриваются следующие вопросы:

1. Описание объекта расчета с геометрической точки зрения.

2. Формулировка основных соотношений.

3. Аналитические методы решения простых задач.

4. Численные методы решения задач.

5.

Задачи расчетов на прочность и жесткость

Прочностным расчетом подвергается любой объект, является продуктом человеческого труда, а также ряд природных объектов. Чтобы сформулировать задачи расчета на прочности и жесткость рассмотрим основные свойства конструкционных материалов.

Конструкционные материалы можно разделить на следующие группы:

1. металлы;

2. неметаллы.

В практике производства чистые металлы практически не применяются, следует более корректно говорить о различных сплавах металлов. Классификация сплавов осуществляется по одному из элементов, входящих в их состав, образующие основу сплава. Наиболее крупная группа: черные и цветные.

К черным относятся все сплавы на основе железа углерода. В зависимости от соотношений между основными компонентами выделяют: чугунные (содержат углерода до 12%), стали (содержат углерода до 18%), специальные сплавы.

Чугуны используют для изготовления корпусных деталей (старинных станков, корпусы подшипников больших габаритов и т.д.).

Стали, классифицируются по соотношению между железом и углеродом, а также по наличию дополнительных (легирующих) элементов. Выделяют конструкционные стали с относительно не высоким содержанием углерода, инструментальные стали отличающиеся с повышенном содержанием углеродов, легированные стали содержащие по мимо железа и углерода различные добавки (хром, никель, магний и д.р.).

Значение конструкционных сталей в основном для изготовления изделия массового производства, как путем резанья, так и обработки давлением.

Инструментальные стали, используются в основном для изготовления режущего инструмента.

Легированные стали, обладаю широкой гаммой характеристик, и могут заменять как инструментальные, так и конструкционные стали. Для производства режущего инструмента используется сталь, легированная вольфрамом или молибденом.

Цветные сплавы классифицируются по основному материалу и добавкам к нему. Большую группу составляют медные сплавы. Среди них выделяют бронзы- сплавы меди с оловом и латуни – медные сплавы не содержат олова. Медные сплавы отличаются стойкостью к химическим воздействиям, низким коэффициентам трения, а латуни – развитыми пластическими свойствами.

Алюминиевые стали делятся на деформируемые и высокопрочные. Основное достоинство алюминиевых сплавов: малая плотность и, следовательно, они широко применяются в авиационной технике. Деформируемые алюминиевые сплавы применяются как для объектов бытовой техники, так и для деталей сложной конфигурации, не требующий высокой прочности.

Среди неметаллических материалов выделяют материалы естественного и искусственного происхождения. К естественным относятся различные материалы, которым придается форма непосредственно после добычи таковых без изменения их свойств и структуры (камни, дерево).

Материалы искусственного происхождения: полимеры и различные композиционные материалы.

Полимеры отличаются высоким молекулярным весом и молекулярной структурой линейного типа. Специальной обработкой можно обеспечить образование поперечных связей, что придает полимерам высокую прочность и жесткость.

Композиционные материалы представляют собой механические смеси различных материалов, резко различающиеся по свойствам и геометрическим характеристикам на микро уровне. В композитах можно выделить связующую матрицу и наполнители. Если наполнитель имеет нитевидную или игольчатую структуру, то его называют армирующим элементом (арматура). В зависимости от вида матрицы выделяют композиты с полимерной, металлической и углеродной матрицей.

Если рассмотреть диаграмму состояния малоуглеродистой стали, то на ней можно указать 4 характерных участка: ОА -на которой материал проявляет свойства линейной упругости, АВ - площадка текучести, ВС - участок упрочнения, СД - участок разрушения. Последние 3 участка характерны тем, что при разгрузке образца появляются остаточные деформации; повторная нагрузка происходит по линии разгрузки ОС, при этом изменяется предел текучести до предела прочности. При появлении шейки истинное напряжение в данном сечении может возрастать, т.к. не смотря на падение нагрузки фактическая площадь поперечного сечения убывает еще быстрее. С точки зрения материала разрушающая является напряжение S_д. Если же рассмотреть стержень как элемент конструкции, который должен сопротивляться приложению внешней нагрузке, предельной является точка С и напряжение .

Если по условию работы конструкции недопустимы остаточные деформации, то следует считать предельным допустимым напряжением предел пропорциональности или предел текучести

Вопрос о том являются, ли пластические деформации допустимыми решается при проектировании конструкции.

(1.1)

Величины К_в и К_т называются коэффициенты запаса прочности по пределам прочности и текучести.

Условие прочности гарантирующие нормальную работу конструкции:

(1.2)

Условие (1.1) и (1.2) будем называть условиями предельного состояния. Считая, что коэффициенты запаса определяется в зависимости от назначения конструкции либо по пределу текучести к>1.

k>1 (1.3)

Коэффициент k принимает значение k=1.05…..9.0

Наиболее современным является подход к расчету на прочность по вероятности разрушения (или надежности). С этой целью условие предельного состояния записывается в виде:

=240……280 МПа

- математическое ожидание

;

Приведенная схема расчета по надежности легко реализуется, если известно математическое ожидание и депрессия для предельного напряжения и внешней нагрузки.

Вероятностные характеристики для пределов прочности и текучести приведены в книге Волков, Шушкевич «Надежность летательных аппаратов». Вероятностные характеристики внешних нагрузок должны быть заданы в техническом задании на прочностной расчет.

Часто вводится понятие: несущая способность конструкции, которую следует определить так, несущая способность конструкции есть такое значение внешней нагрузки, при которой наибольшее действительное напряжение равно предельному напряжению. Тогда в равенстве (1.3) коэффициент запаса:

(1.4)

При расчете по надежности можно определить критерий X, как

Приведенные рассуждения о расчетах на прочность относились к простым напряженно-деформированным состояниям, в которых отлично от нуля является только одна компонента тензора напряжения (либо одна из нормальных, либо одна из касательных напряжений). Для случая сложного напряженного состояния необходимо иметь возможность сопоставит два состояния:

1. реально существует в элементе конструкции;

2. простое, реализованное в опыте предельное напряжение.

Такое сопоставление может быть реализовано на основании анализа инвариантов двух упомянутых состояний. Выбор инварианта для сравнения определяет так называемую теорию прочности.

Исторически первой была теория прочности Кулона, суть которой заключается в том, что за критерий сравнения приним наибольшее нормальное напряжение.

-наибольшее главное напряжение

- наибольшее касательное напряжение

Выбор теории прочности определяет инвариант сравнения напряженного состояния, который в дальнейшем будем называть эквивалентным напряжением.

После введения этого понятия можно поставить задачу расчета на прочность.

Найти распределение напряжения в деформированном теле. Найти опасную точку, в котором эквивалентное напряжение по одной из теории прочности будет наибольшей по объему и определить коэффициент запаса прочности или надежность по известному предельному напряжению инаибольшее эквивалентное напряжение.

Расчеты на прочность при динамических нагрузках вообще на много сложнее, чем в статике. Одна из причин этого явления усталости материала, который выражается в следующем: если деталь подвергать знакопеременным нагрузкам, причем эквивалентное напряжение будет меньше предельного, то по истечение некоторого времени деталь разрушится.

σ

σ _-1

N

При динамических расчетах характеристикой прочности материала является предел выносливости амплитуда напряжений в опыте на изгиб по симметрическому циклу, при котором образец выдержит без разрушения более 10⁶ циклов ()

Таким образом, при динамических расчетах, в котором реализуется симметрический цикл для эквивалентного напряжения условие предельного состояния записано в виде:

В случае сложного напряжения состоит, когда отличны от нуля две компоненты тензора напряжения (одно нормальное и одно касательное), пользуясь расчетом по коэффициентам запаса, который определяется по амплитуде действительных напряжений и подобным конструктивным фактором. Общий запас прочности определяется из соотношений:

и определяется по отношению к действующим нормальным и касательным напряжениям. Такой расчет рекомендован для валов, работающих на изгиб и кручение.

Ввиду отсутствие систематизированных справочных данных по кривым выносливости материала расчета на прочность в динамики будем производить по формулам статики, в котором предельное напряжение – предел выносливости