Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие действия.
1. С помощью точек () разобьем отрезок на частичных отрезков .
2. В каждом частичном отрезке , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке, т. е. ;
3. Умножим найденное значение на длину соответствующего частичного отрезка: ;
4. Составим сумму всех таких произведений:
, (1)
Сумма называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка: .
5. Найдем предел интегральной суммы, когда , так что.
Рис. 1
Если при этом интегральная сумма имеет предел I, который не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек на них, то число I называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Таким образом,
. (2)
В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, отрезок называется областью (отрезком) интегрирования.
|
|
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.