2014-02-02
1642
Формула Ньютона – Лейбница
Теорема 2. Если функция 
непрерывна на отрезке 
и 
- какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то имеет место формула:
.
Равенство называется формулой Ньютона-Лейбница. Используя краткое обозначение 
, эту формулу можно записать в виде
. (3)
Таким образом, вычисление определенного интеграла от непрерывной функции сводится к отысканию ее первообразной, то есть, по существу, неопределенного интеграла.
Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа:
1. На первом этапе находят некоторую первообразную 
для подынтегральной функции 
;
2. На втором этапе находится разность 
значений этой первообразной на концах отрезка 
.
Пример 1. Вычислить интеграл 
.
Решение: Для подынтегральной функции 
произвольная первообразная имеет вид 
. Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: 
. Тогда 
.
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
Решение: По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
.
Пример 3. Найдем интеграл 
. Поскольку 
, то по формуле Ньютона-Лейбница получаем 
.
Пример 4. Площадь 
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
, осью 
и прямыми 
и 
, равна 
.
