Определение оценок коэффициентов регрессии по данным пассивного эксперимента

Задача регрессионного анализа.

Проверка гипотезы о распределении выборочных значений по закону Пуассона.

Пусть задана выборка , причём: , - равноотстоящие.

1.

2. В качестве оценки параметра .

3. Найти предполагаемый закон Пуассона: , где .

4. , где (теоретические частоты)

5. , но .

Если , то выборочное значение распределено по закону Пирсона.

Рассмотрим следующую задачу:

Есть независимы переменных и зависящая от них переменная . Сами переменные могут быть случайными и при желании можем задать их значения. На величину также влияют другие неподдающиеся точному фактору, а это значит, что величина носит случайный характер.

Нас будет интересовать методы экспериментального определения влияния переменных на , а именно: определить по данным эксперимента вид зависимости: .

Задача регрессионного анализа состоит от экспериментально определённых коэффициентов регрессии вида: путём наблюдения за характером изменений входных переменных и выходного , служат методы активного и пассивного эксперимента.

Пассивный эксперимент основан на регистрации контроля параметра в процессе нормальной работы объекта без внесений преднамеренных возмущений.

Активный эксперимент основан на использовании искомого возмущения вводимых в объект по заранее спланированной программе. При активном эксперименте ведение искомых возмущений позволяет быстро и целенаправленно вскрывать нужные зависимости между параметрами, но введение искомых возмущений может привести к нарушению нормального хода технологий.

При организованном числе экспериментов невозможно точно найти значение . Поэтому находят оценки этих коэффициентов , определяют оценку математического ожидания истинной функции .

Для определения оценок коэффициентов проводят серию экспериментов, в каждом из которых измеряют величины на входах и выходах исследованного объекта.

Рассмотрим -ый эксперимент, . Пусть и , где , - значения величин и в этом эксперименте. Оценка будет отличаться от измеренного значения . Величины . Для определения коэффициентов будет использован метод наименьших квадратов. В этом случаи оценки будут находится из условия: . Перейдём к матричной форме: , , , . Тогда наша зависимость запишется в виде: . Для использования метода наименьшего квадрата будем рассматривать следующую величину: .

Минимум находим из условия: , . Т.к. определение оценок коэффициентов проводится по искажённым помехам экспериментальных данных, то для получения точных оценок нужно, что бы число экспериментов было , где -число неизвестных параметров, т.к. .

Определение: Разность между числом наблюдений и числом неизвестных параметров называется число степеней свободы эксперимента: .

О правильности построений по экспериментальным данным регрессионной модели с уровнем надёжности можно судить на основании - критерия Фишера. Для этого определим отношение: , где - дисперсия, характеризующая рассеяние эксперимента точек относительно уровня регрессии, - дисперсия, характеризующая ошибку эксперимента, - выборочная средняя всех результатов эксперимента. Когда значение найдено, его сравнивают с табличными значениями . Если , то построенная модель считается адекватной.