Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Теорема Айткена

1 2 3 4

Методы смягчения проблемы гетероскедастичности.

Обнаружение гетероскедастичности.

Суть гетероскедастичности.

Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Теорема Айткена.

Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Гетероскедастичность.

Лекция 6

Вопросы:

Рассмотрим линейную модель множественной регрессии:

2) , , , ,

Значения признака Матрица объясняющих Вектор Вектор Вектор

переменных, столбцами регрессора j случайных коэфф-тов

которой являются X_j ошибок регрессии

3),

В классической модели компоненты вектора возмущений некоррелированы М() = 0 при , а дисперсии компонент постоянны , ковариационная матрица возмущений

Суть обобщения регрессионной модели состоит в том, что ковариации и дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными (т.о. обобщенная модель множественной регрессии отличается от классической только видом ковариационной матрицы). - положительно определенная матрица (А^Т = А и х^ТАх > 0). В классической модели множественной регрессии обычным МНК был получен вектор оценок параметров, он является несмещенной и состоятельной оценкой для . Рассмотрим ковариационную матрицу

В классической модели и К = . В качестве выборочной оценки ковариационной матрицы К была взята матрица , где , причем

M(S²) = и = К, т.е. - несмещенная оценка К.

В обобщенной модели и К = . Если в качестве оценки матрицы К взять ту же матрицу, то , т.е. - смещенная оценка для К. Т.о., обычный МНК в обобщенной линейной регрессионной модели дает смещенную оценку ковариационной матрицы К вектора оценок параметров. Следовательно, оценка не будет оптимальной в смысле теоремы Гаусса-Маркова. Для получения наиболее эффективной оценки ковариационной матрицы К нужно использовать оценку, получаемую так называемым обобщенным МНК.

Теорема Айткена: в классе линейных несмещенных оценок вектора для обобщенной регрессионной модели оценка имеет наименьшую ковариационную матрицу.

Для применения обобщенного МНК надо знать ковариационную матрицу вектора возмущений , что встречается крайне редко в практике эконометрического моделирования. Если считать все n(n+1)/2 элементов матрицы неизвестными параметрами обобщенной модели (в дополнение к (р+1) параметрам регрессии), то общее число параметров превысит число наблюдений n, что сделает оценку этих параметров неразрешимой задачей.