Распределение Максвелла по направлениям скоростей

Теперь, когда мы определились, какую же величину будем искать, давайте воспользуемся довольно часто используемым в физике приёмом. Мы попытаемся “угадать” искомое распределение. А проверку того, что мы угадали правильно, мы получим, сравнивая результаты нашей теории с экспериментом.

Из чего мы должны исходить при нахождении искомого распределения? Оказывается, у нас есть 2 отправных момента:

1 Распределение молекул по скоростям должно быть симметричным относительно начала координат. Это следует из того, что в равновесном состоянии все направления в пространстве равноправны. Если бы это было не так, то был бы дрейф молекул – поток молекул в каком-либо одном направлении, связанный с переносом, например, энергии. В равновесном состоянии никаких потоков нет.

2 Исходя из того, что кинетическая энергия молекул, заключённых в любом сосуде, должна быть конечной, в искомом распределении не должно быть бесконечно большой скорости даже у одной молекулы.

Итак, предположим, что функция распределения молекул по проекциям скорости имеет вид

. (7.5)

Действительно, такой вид функции распределения удовлетворяет двум нашим исходным требованиям:

1) эта функция – чётная относительно начала координат;

2) при .

Теперь наша задача – определение коэффициентов А и b. Для определения коэффициента А воспользуемся условием нормировки (7.4):

. (7.6)

Сделаем замену переменных в интеграле:

, и . (7.7)

Тогда вместо выражения (7.6) получим

. (7.8)

В выражении (7.8) мы получили табличный интеграл Пуассона:

. (7.9)

Подставим значение интеграла Пуассона в выражение (7.8):

. (7.10)

Таким образом,

. (7.11)

Аналогично можно получить, что

, .

На основании теоремы о вероятности независимых событий[12] полная функция распределения имеет вид:

. (7.12)

Для определения константы b с помощью функции распределения (7.12) вычислим среднее значение кинетической энергии, уже зная ответ. А именно . На основании формулы (7.2) мы можем записать, что:

(7.13)

Выражение (7.13) представляет собой произведение трех одинаковых интегралов, поэтому в выражении (7.13) появляется множитель 3. Оставшееся выражение также равно произведению трех интегралов – по переменным v _x, v _y и v _z:

(7.14)

Вычислим интеграл по переменной v _x. Снова сделаем замену переменных в выражении (7.7) и получим, что

(7.15)

Последний интеграл в выражении (7.14) также является табличным (и тоже называется интегралом Пуассона):

. (7.16)

Таким образом,

. (7.17)

Второй и третий интегралы мы фактически уже вычисляли – они отличаются от интеграла в выражении (7.6) только другим обозначением переменной интегрирования. Следовательно, каждый из этих интегралов равен . Теперь соберём весь наш тройной интеграл (7.14) и получим

. (7.18)

Окончательный вид функции распределения:

. (7.19)

Выражение (7.19) называется функцией распределения Максвелла по направлениям скоростей. Она имеет вид, показанный на рисунке 7.1.

Рисунок 7.1 – Распределения Максвелла по направлениям скоростей

Напомним, что выражение дает вероятность того, что проекция скорости молекулы на ось х лежит в пределах от до . А если мы умножим на число молекул в сосуде N, то получим – число молекул, имеющих проекцию скорости на ось х в пределах от до . Так как движения в положительном и отрицательном направлениях оси Ох равновероятны, то эта функция симметрична. Кроме того, в условиях термодинамического равновесия в обоих направлениях оси Ох движется в среднем одинаковое количество молекул, а это значит, что среднее значение проекции скорости , вычисленное для всех молекул, будет равно 0. Поэтому функция имеет максимум при = 0. Аналогично, умножив функцию (7.18) на мы получаем вероятность того, что компоненты скорости молекулы лежат в пределах от до . Число молекул, скорости которых находятся в указанном интервале, будет равно