double arrow

Некоторые свойства преобразования Лапласа

1

1. Линейность. Пусть , и λ, μ – произвольные комплексные числа. Тогда .

Пример: найти изображение соответствующее оригиналу

>> syms t p

>> laplace(6*t^2,p)+laplace(4*cos(t),p)-laplace(5*sin(t),p)

ans =12/p^3+4*p/(p^2+1)-5/(p^2+1)

ИЛИ

>> laplace(6*t^2+4*cos(t)-5*sin(t),p)

ans =(12*p^2+12+4*p^4-5*p^3)/p^3/(p^2+1)

2. Теорема подобия. Если f (t) – функция-оригинал и , то для любого λ > 0 справедливо соотношение .

Пример:найти изображение, соответствующее оригиналу

Решение:

3. Теорема смещения. Если , то . Здесь α – произвольное комплексное число. Умножение оригинала на функцию приводит к смещению на величину α аргумента изображения.

Пример:найти изображение, соответствующее оригиналу

Решение:

>> laplace(cos(t),p)

ans = p/(p^2+1)

>> laplace(exp(2*t)*cos(t),p)

ans =(p-2)/(p^2-4*p+5)

4. Теорема запаздывания. Если , то для любого τ > 0 имеет место соотношение

Пример:найти изображение, соответствующее оригиналу

Решение:

>> syms t p

>> laplace((t-2)^5,p)

ans = -8*(-15+30*p-30*p^2+20*p^3-10*p^4+4*p^5)/p^6 % ML раскрывает скобки и для каждого слагаемого ищет изображение

5. Теорема дифференцирования оригинала. Если являются оригиналами и, то и .

6. Теорема интегрирования оригинала. Если f (t) – функция-оригинал и , то, интегрированию оригинала соответствует деление изображения на .

Пример: Найти изображение интеграла

Решение: . Тогда

>> syms h

>> syms h;int(sin(h),0,t)

ans =1-cos(t)

>> laplace(sin(t),p)

ans =1/(p^2+1)

7. Теорема дифференцирования изображения. Если f (t) – функция-оригинал и , то Таким образом, дифференцирование изображения влечёт за собой умножение оригинала на .

Пример:найти изображение функции , используя свойства преобразования Лапласа. Результат проверить, используя встроенную функцию.

>> syms t p

>> f=laplace(cos(4*t),t,p)

f =p/(p^2+16)

>> diff(f,p,2) % по свойству 7 дифференцируем 2 раза изображение.

ans =-6/(p^2+16)^2*p+8*p^3/(p^2+16)^3

>> simplify(ans)

ans =2*p*(p^2-48)/(p^2+16)^3

проверка

>> laplace(t^2*cos(4*t),t,p)

ans =2*p*(p^2-48)/(p^2+16)^3

8. Теорема интегрирования изображения. Если функция является оригиналом, то из следует .

9. Теорема умножения изображений (теорема Бореля). Произведение двух изображений также является изображением, причём .

Интеграл в правой части называется свёрткой функций обозначается символом .

Пример:найти оригинал, соответствующий изображению .

Решение:

>> F=1/((p-2)*(p+1));

>> ilaplace(F,t)

ans =1/3*exp(2*t)-1/3*exp(-t)

Пример:получить оригинал функции

>> syms a b p t L

>> L=(a+b*p)/p^2;

>> iLaplace(L,t)

ans =a*t+b

1

Сейчас читают про: